Question

7．如圖，在直角坐標(biāo)系中，長(zhǎng)方形OABC的頂點(diǎn)O與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，頂點(diǎn)A，C分別在坐標(biāo)軸上，頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，2）．過(guò)點(diǎn)D（0，3）和E（6，0）的直線分別與AB，BC交于點(diǎn)M，N．
（1）求直線DE的解析式；
（2）若反比例函數(shù)y=$\frac{m}{x}$（x＞0）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)M，求該反比例函數(shù)的解析式，并通過(guò)計(jì)算判斷點(diǎn)N是否在該函數(shù)的圖象上；
（3）若反比例函數(shù)y=$\frac{m}{x}$（x＞0）的圖象與△MNB有公共點(diǎn)，設(shè)整式m²-10m+40的最大值為a，把它作為一直角三角形的一條直角邊的長(zhǎng)．若該直角三角形的另外兩邊長(zhǎng)也為整數(shù)，請(qǐng)求出另一條直角邊長(zhǎng)的最大值是多少？

Answer 1

分析 （1）設(shè)直線DE的解析式為y=kx+b，直接把點(diǎn)D，E代入解析式利用待定系數(shù)法即可求得直線DE的解析式，先根據(jù)矩形的性質(zhì)求得點(diǎn)M的縱坐標(biāo)，再代入一次函數(shù)解析式求得其橫坐標(biāo)即可；
（2）利用點(diǎn)M求得反比例函數(shù)的解析式，根據(jù)一次函數(shù)求得點(diǎn)N的坐標(biāo)，再代入反比例函數(shù)的解析式判斷是否成立即可；
（3）滿足條件的最內(nèi)的雙曲線的m=4，最外的雙曲線的m=8，可求得m的取值范圍，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可求得a的值，設(shè)直角三角形的斜邊為c，另一直角邊為b，由勾股定理可得到關(guān)于b、c的關(guān)系式，由條件可求得b的最大值．

解答 解：（1）設(shè)直線DE的解析式為y=kx+b，
∵點(diǎn)D，E的坐標(biāo)為（0，3）、（6，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{3=b}\\{0=6k+b}\end{array}\right.$，解得k=-$\frac{1}{2}$，b=3；
∴y=-$\frac{1}{2}$x+3；
∵點(diǎn)M在AB邊上，B（4，2），而四邊形OABC是矩形，
∴點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為2；
又∵點(diǎn)M在直線y=-$\frac{1}{2}$x+3上，
∴2=-$\frac{1}{2}$x+3；
∴x=2；
∴M（2，2）；
（2）∵y=$\frac{m}{x}$（x＞0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（2，2），
∴m=4；
∴y=$\frac{4}{x}$；
又∵點(diǎn)N在BC邊上，B（4，2），
∴點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為4；
∵點(diǎn)N在直線y=-$\frac{1}{2}$x+3上，
∴y=1；
∴N（4，1）；
∵當(dāng)x=4時(shí)，y=$\frac{4}{x}$=1，
∴點(diǎn)N在函數(shù)y=$\frac{4}{x}$的圖象上；
（3）當(dāng)反比例函數(shù)y=$\frac{m}{x}$（x＞0）的圖象通過(guò)點(diǎn)M（2，2），N（4，1）時(shí)m的值最小，
當(dāng)反比例函數(shù)y=$\frac{m}{x}$（x＞0）的圖象通過(guò)點(diǎn)B（4，2）時(shí)m的值最大，
∴2=$\frac{m}{2}$，有m的值最小為4，
2=$\frac{m}{4}$，有m的值最大為8，
∴4≤m≤8；
設(shè)y=m²-10m+40=（m-5）²+15，
∴當(dāng)4≤m≤8時(shí)，m=8時(shí)y有最大值，
∴a=24，
設(shè)直角三角形的斜邊為c，另一直角邊為b，
由勾股定理可得c²-b²=a²=24²=576，
∴（c+b）（c-b）=576，
∵b、c為整數(shù)，
∴當(dāng)c-b的差最小時(shí)b有最大值，
∴$\left\{\begin{array}{l}{c+b=288}\\{c-b=2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{c=145}\\{b=143}\end{array}\right.$，
∴b的最大值為143，
即另一直角邊的最大值為143．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法、矩形的性質(zhì)、二次函數(shù)的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)．在（1）（2）注意函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)與函數(shù)解析式的關(guān)系，在（3）中求得m的取值范圍是解題的關(guān)鍵．此題難度稍大，綜合性比較強(qiáng)，