Question

如圖，已知△ABC是邊長為6的等邊三角形，BC在x軸上，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)A在第一象限內(nèi)，AB與y軸的正半軸相交于點(diǎn)E，點(diǎn)B（-1，0），P是AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（P與點(diǎn)A、C不重合）
（1）求點(diǎn)A、E的坐標(biāo)；
（2）若y=-

3

2

x²+bx+c過點(diǎn)A、E，求拋物線的解析式；
（3）連結(jié)PB、PD，設(shè)L為△PBD的周長，當(dāng)L取最小值時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)及L的最小值，并判斷此時(shí)點(diǎn)P是否在（2）中所求的拋物線上，請(qǐng)充分說明你的判斷理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）連結(jié)AD，不難求得A（2，3

3

），則OE=

1

3

AD，得E（0，

3

）．
（2）因?yàn)閽佄锞�y=-

3

2

x²+bx+c過點(diǎn)A、E，由待定系數(shù)法得：c=

3

，b=2

3

，求出拋物線的解析式；
（3）先作點(diǎn)D關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)D′，連結(jié)BD′交AC于點(diǎn)P，則PB與PD的和取最小值，即△PBD的周長L取最小值．不難求得∠D′DC=30°，DF=

3

2

3

，DD'=3

3

求得點(diǎn)D′的坐標(biāo)為（

13

2

，

3

2

3

），進(jìn)而求出直線BD′的解析式，直線AC的解析式，即可求直線BD′與AC的交點(diǎn)可得點(diǎn)P的坐標(biāo)，再利用勾股定理得出BD′的長，即可得出答案．

解答：解：（1）連結(jié)AD，
∵△ABC是邊長為6的等邊三角形，點(diǎn)B（-1，0），
∴AB=6，BD=3，故AD=3

3

，
∴A（2，3

3

），
∴OE=

1

3

AD，得E（0，

3

）；

（2）因?yàn)閽佄锞�y=-

3

2

x²+bx+c過點(diǎn)A、E，
∴

- 3 2 ×22+2b+c=3 3 c= 3

解得：

c= 3 b=2 3

，
故拋物線的解析式為：y=-

3

2

x²+2

3

x+

3

；

（3）先作點(diǎn)D關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)D'，
連結(jié)BD'交AC于點(diǎn)P，則PB與PD的和取最小值，
即△PBD的周長L取最小值．可得∠D'DC=30°，DF=

3

2

3

，則DD'=3

3

，
∴D′G=

3

2

3

，GO=2+DG=2+

9

2

=

13

2

，
得點(diǎn)D'的坐標(biāo)為（

13

2

，

3

2

3

），
設(shè)直線BD'的解析式為：y=dx+e，
則

-d+e=0 13 2 d+e= 3 2 3

，
解得：

d= 3 5 e= 3 5

，
故直線BD'的解析式為：y=

3

5

x+

3

5

，
同理可得：直線AC的解析式為：y=-

3

x+5

3

，
由題意可得：

y= 3 5 x+ 3 5 y=- 3 x+5 3

，
解得：

x=4 y= 3

，
故直線BD'與AC的交點(diǎn)可得點(diǎn)P的坐標(biāo)（4，

3

）．
此時(shí)BD'=

BG2+D′G2

=3

7

，
所以△PBD的最小周長L為3

7

+3，
把點(diǎn)P的坐標(biāo)（4，

3

）代入y=-

3

2

x²+2

3

x+

3

成立，
所以此時(shí)點(diǎn)P在拋物線上．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)綜合以及待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式以及待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式等知識(shí)，利用數(shù)形結(jié)合以及利用軸對(duì)稱求出最值是解題關(guān)鍵．