Question

1．如圖所示，CD為⊙O的直徑，點(diǎn)B在⊙O上，連接BC、BD，過(guò)點(diǎn)B的切線AE與CD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)A，OE∥BD，交BC于點(diǎn)F，交AB于點(diǎn)E．
（1）求證：∠E=∠C；
（2）若⊙O的半徑為3，AD=2，試求OE的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）連接OB．先證明∠ABO、∠CBD均為直角，然后依據(jù)同角的余角相等證明∠ABD=∠CBO，接下來(lái)，結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)進(jìn)行證明即可；
（2）連接OB，先求得AB的長(zhǎng)，然后由平行線分線段成比例定理求得BE的長(zhǎng)，最后再△BOE中依據(jù)勾股定理可求得OE的長(zhǎng)．

解答 解：（1）證明：如圖1：連接OB．

∵CD為圓O的直徑，
∴∠CBD=∠CBO+∠OBD=90°．
∵AE是圓O的切線，
∴∠ABO=∠ABD+∠OBD=90°．
∴∠ABD=∠CBO．
∵OB=OC，
∴∠C=∠CBO．
∴∠C=∠ABD．
∵OE∥BD，
∴∠E=∠ABD．
∴∠E=∠C．
（2）如圖2所示：連接OB．

∵圓O的半徑為3，AD=2，
∴OA=5，OB=3．
∴AB=$\sqrt{A{O}^{2}-O{B}^{2}}$=4．
∵BD∥OE，
∴$\frac{AB}{EB}=\frac{AD}{DO}$，即$\frac{4}{BE}=\frac{2}{3}$．
解得：BE=6．
∵∠OBE=90°，
∴OE=$\sqrt{B{E}^{2}+O{B}^{2}}$=3$\sqrt{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查的是切線的性質(zhì)、圓周角定理的應(yīng)用、等腰三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、平行線分線段成比例定理、勾股定理的應(yīng)用，求得BE的長(zhǎng)是解答本題的關(guān)鍵．