Question

（2013•十堰）已知拋物線y=x²-2x+c與x軸交于A．B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，拋物線的頂點(diǎn)為D點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-1，0）．
（1）求D點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）如圖1，連接AC，BD并延長交于點(diǎn)E，求∠E的度數(shù)；
（3）如圖2，已知點(diǎn)P（-4，0），點(diǎn)Q在x軸下方的拋物線上，直線PQ交線段AC于點(diǎn)M，當(dāng)∠PMA=∠E時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入到拋物線的解析式求得c值，然后配方后即可確定頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）連接CD、CB，過點(diǎn)D作DF⊥y軸于點(diǎn)F，首先求得點(diǎn)C的坐標(biāo)，然后證得△DCB∽△AOC得到∠CBD=∠OCA，根據(jù)∠ACB=∠CBD+∠E=∠OCA+∠OCB，得到∠E=∠OCB=45°；
（3）設(shè)直線PQ交y軸于N點(diǎn)，交BD于H點(diǎn)，作DG⊥x軸于G點(diǎn)，增大△DGB∽△PON后利用相似三角形的性質(zhì)求得ON的長，從而求得點(diǎn)N的坐標(biāo)，進(jìn)而求得直線PQ的解析式，設(shè)Q（m，n），根據(jù)點(diǎn)Q在y=x²-2x-3上，得到-

1

2

m-2=m²-2m-3，求得m、n的值后即可求得點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

解答：解：（1）把x=-1，y=0代入y=x²-2x+c得：1+2+c=0
∴c=-3
∴y=x²-2x-3=y=（x-1）²-4
∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-4）；

（2）如圖1，連接CD、CB，過點(diǎn)D作DF⊥y軸于點(diǎn)F，
由x²-2x-3=0得x=-1或x=3
∴B（3，0）
當(dāng)x=0時(shí)，y=x²-2x-3=-3
∴C（0，-3）
∴OB=OC=3
∵∠BOC=90°，
∴∠OCB=45°，
BC=3

2

又∵DF=CF=1，∠CFD=90°，
∴∠FCD=45°，CD=

2

，
∴∠BCD=180°-∠OCB-∠FCD=90°．
∴∠BCD=∠COA
又∵

CD

CB

=

OA

OC

∴△DCB∽△AOC，
∴∠CBD=∠OCA
又∵∠ACB=∠CBD+∠E=∠OCA+∠OCB
∴∠E=∠OCB=45°，

（3）如圖2，設(shè)直線PQ交y軸于N點(diǎn)，交BD于H點(diǎn)，作DG⊥x軸于G點(diǎn)
∵∠PMA=45°，
∴∠EMH=45°，
∴∠MHE=90°，
∴∠PHB=90°，
∴∠DBG+∠OPN=90°
又∴∠ONP+∠OPN=90°，
∴∠DBG=∠ONP
∴∠DGB=∠PON=90°，
∴△DGB∽△PON
∴

BG

DG

=

ON

OP

，
即：

2

4

=

ON

4

∴ON=2，
∴N（0，-2）
設(shè)直線PQ的解析式為y=kx+b
則

-4k+b=0 b=-2

解得：

k=- 1 2 b=-2

∴y=-

1

2

x-2
設(shè)Q（m，n）且n＜0，
∴n=-

1

2

m-2
又∵Q（m，n）在y=x²-2x-3上，
∴n=m²-2m-3
∴-

1

2

m-2=m²-2m-3
解得：m=2或m=-

1

2

∴n=-3或n=-

7

4

∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（2，-3）或（-

1

2

，-

7

4

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的綜合知識(shí)，難度較大，題目中滲透了許多的知識(shí)點(diǎn)，特別是二次函數(shù)與相似三角形的結(jié)合，更是一個(gè)難點(diǎn)，同時(shí)也是中考中的�？碱}型之一．