Question

14．在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直線MN經過點C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．
（1）當直線MN繞點C旋轉到圖1的位置時，求證：DE=AD+BE；
（2）當直線MN繞點C旋轉到圖2的位置時，請寫出DE、AD、BE之間的等量關系并加以證明．
（3）當直線MN繞點C旋轉到圖3的位置時，試問DE、AD、BE之間又有怎樣的等量關系？請直接寫出結論．

Answer 1

分析 （1）由垂直得∠ADC=∠BEC=90°，由同角的余角相等得：∠DAC=∠BCE，因此根據AAS可以證明）△ADC≌△CEB，結合全等三角形的對應邊相等證得結論；
（2）根據全等三角形的判定定理AAS推知△ACD≌△CBE，然后由全等三角形的對應邊相等、圖形中線段間的和差關系以及等量代換證得DE+BE=AD；
（3）DE、AD、BE具有的等量關系為：DE=BE-AD（或AD=BE-DE，BE=AD+DE等）．證明的方法與（2）相同．

解答 證明：（1）如圖1，∵AD⊥MN，BE⊥MN，
∴∠ADC=∠BEC=90°，
∴∠DAC+∠ACD=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°，
∴∠DAC=∠BCE，
在△ADC和△CEB中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠ADC=∠BEC}\\{∠DAC=∠BCE}\\{AC=BC}\end{array}\right.$，
∴△ADC≌△CEB；
∴DC=BE，AD=EC，
∵DE=DC+EC，
∴DE=BE+AD．

（2）解：DE+BE=AD．理由如下：
如圖2，∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°．
又∵AD⊥MN于點D，
∴∠ACD+∠CAD=90°，
∴∠CAD=∠BCE．
在△ACD和△CBE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADC=∠CEB=90°}\\{∠CAD=∠BCE}\\{AC=BC}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△CBE（AAS），
∴CD=BE，AD=CE，
∴DE+BE=DE+CD=EC=AD，即DE+BE=AD．

（3）解：DE=BE-AD（或AD=BE-DE，BE=AD+DE等）．理由如下：
如圖3，易證得△ADC≌△CEB，
∴AD=CE，DC=BE，
∴DE=CD-CE=BE-AD，即DE=BE-AD．

點評 本題考查了幾何變換綜合題，等腰直角三角形和全等三角形的性質和判定，熟練掌握全等三角形的四種判定方法是關鍵：SSS、SAS、AAS、ASA；在證明線段的和與差時，利用全等三角形將線段轉化到同一條直線上得出結論．