Question

20．如圖，已知梯形ABCD，AD∥BC，AC與BD交于點O，設(shè)△BOC，△COD，△DOA及梯形ABCD的面積分別為S₁、S₂、S₃、S．
（1）已知$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$，請用$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$或表示AD：BC；
（2）已知$\frac{{S}_{1}+{S}_{2}}{S}$，請用$\frac{{S}_{1}+{S}_{2}}{S}$，表示AD：BC；
（3）已知$\frac{{S}_{2}}{S}$，請用$\frac{{S}_{3}}{S}$表示AD：BC．

Answer 1

分析 （1）先由AD∥BC判斷△AOD∽△COB，則利用相似三角形的性質(zhì)得$\frac{AD}{BC}$=$\frac{OD}{OB}$=$\frac{OA}{OC}$，再根據(jù)三角形面積公式得到$\frac{{S}_{2}}{{S}_{1}}$=$\frac{OD}{OB}$，所以$\frac{AD}{BC}$=$\frac{1}{\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}}$；
（2）與方法一樣得到$\frac{{S}_{3}}{{S}_{2}}$=$\frac{OA}{OC}$=$\frac{AD}{BC}$，再利用三角形面積公式得到S_△AOB=S₂，則$\frac{{S}_{1}+{S}_{2}}{S}$=$\frac{{S}_{1}+{S}_{2}}{{S}_{1}+{2S}_{2}+{S}_{3}}$，設(shè)$\frac{{S}_{1}+{S}_{2}}{S}$=x，$\frac{AD}{BC}$=y，利用分式的基本性質(zhì)得到x=$\frac{1}{1+y}$，于是y=$\frac{1}{x}$-1，所以$\frac{AD}{BC}$=$\frac{1}{\frac{{S}_{1}+{S}_{2}}{S}}$-1；
（3）與（2）的方法一樣求解．

解答 解：（1）∵AD∥BC，
∴△AOD∽△COB，
∴$\frac{AD}{BC}$=$\frac{OD}{OB}$=$\frac{OA}{OC}$，
∵$\frac{{S}_{2}}{{S}_{1}}$=$\frac{OD}{OB}$，
∴$\frac{AD}{BC}$=$\frac{{S}_{2}}{{S}_{1}}$=$\frac{1}{\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}}$；
（2）∵$\frac{{S}_{3}}{{S}_{2}}$=$\frac{OA}{OC}$=$\frac{AD}{BC}$，

∵AD∥BC，
∴△ABC的面積=△DBC的面積，
∴S_△AOB=S₂，
∴$\frac{{S}_{1}+{S}_{2}}{S}$=$\frac{{S}_{1}+{S}_{2}}{{S}_{1}+{2S}_{2}+{S}_{3}}$=$\frac{1+\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}}{\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}+2+\frac{{S}_{3}}{{S}_{2}}}$，
設(shè)$\frac{{S}_{1}+{S}_{2}}{S}$=x，$\frac{AD}{BC}$=y，
∴x=$\frac{1+\frac{1}{y}}{\frac{1}{y}+2+y}$=$\frac{y+1}{1+2y+{y}^{2}}$=$\frac{1}{1+y}$，
∴y=$\frac{1}{x}$-1，
即$\frac{AD}{BC}$=$\frac{1}{\frac{{S}_{1}+{S}_{2}}{S}}$-1；
（3）$\frac{{S}_{3}}{S}$=$\frac{{S}_{3}}{{S}_{1}+2{S}_{2}+{S}_{3}}$=$\frac{\frac{{S}_{3}}{{S}_{2}}}{\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}+2+\frac{{S}_{3}}{{S}_{2}}}$，
設(shè)$\frac{{S}_{3}}{S}$=x，$\frac{AD}{BC}$=y，
∴x=$\frac{y}{\frac{1}{y}+2+y}$=（$\frac{y}{1+y}$）²，
∴$\frac{y}{1+y}$=$\sqrt{x}$，
∴y=$\frac{\sqrt{x}}{1-\sqrt{x}}$，
即$\frac{AD}{BC}$=$\frac{\sqrt{\frac{{S}_{3}}{S}}}{1-\sqrt{\frac{{S}_{3}}{S}}}$．

點評 本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)：利用平行于三角形一邊的直線與其它兩邊相交所得的三角形與原三角形相似是證明三角形相似常見的方法．解決本題的關(guān)鍵是利用代數(shù)法簡化和利用分式的基本性質(zhì)變形．