Question

14．如圖1，將∠EAF繞著四邊形ABCD的頂點A順時針旋轉(zhuǎn)，∠EAF的兩邊分別與DC的延長線交于點F，與CB的延長線交于點E，連接EF．

（1）若四邊形ABCD為正方形，當∠EAF=45°時，EF與DF、BE之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？（只需直接寫出結(jié)論）
（2）如圖2，如果四邊形ABCD中，AB=AD，∠ABC與∠ADC互補，當∠EAF=$\frac{1}{2}$∠BAD時，EF與DF、BE之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出它們之間的關(guān)系式并給予證明．
（3）在（2）中，若BC=4，DC=7，CF=2，求△CEF的周長（直接寫出結(jié)果即可）．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意結(jié)合圖形可以得到答案；
（2）在DF上截取DM=BE，連接AM，根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)證明△EAF≌△MAF，得到EF=MF，得到答案；
（3）根據(jù)三角形周長公式和（2）的結(jié)論解答即可．

解答 解：（1）EF=DF-BE；
（2）EF=DF-BE．
證明：如圖，在DF上截取DM=BE，連接AM．
∵∠D+∠ABC=∠ABE+∠ABC=180°，
∴∠D=∠ABE．
∵AD=AB，
在△ADM和△ABE中，
$\left\{\begin{array}{l}{DM=BE}\\{∠D=∠ABE}\\{AD=AB}\end{array}\right.$，
∴△ADM≌△ABE．
∴AM=AE，∠DAM=∠BAE，
∵∠EAF=∠BAE+∠BAF=$\frac{1}{2}$∠BAD，
∴∠DAM+∠BAF=$\frac{1}{2}$∠BAD，
∴∠MAF=$\frac{1}{2}$∠BAD，
∴∠EAF=∠MAF，
∵AF是△EAF與△MAF的公共邊，
在△EAF和△MAF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AM}\\{∠EAF=∠MAF}\\{AF=AF}\end{array}\right.$，
∴△EAF≌△MAF．
∴EF=MF，
∵MF=DF-DM=DF-BE，
∴EF=DF-BE；
（3）∵EF=DF-BE，
∴△CEF的周長=CE+EF+FC=BC+BE+DC+CF-BE+CF=BC+CD+2CF=15．

點評 本題考查的是旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)，理解旋轉(zhuǎn)變換中對應(yīng)邊相等、對應(yīng)角相等、旋轉(zhuǎn)角相等是解題的關(guān)鍵．