Question

12．如圖，已知直線AB經(jīng)過(guò)⊙O上的點(diǎn)C，且OA=OB，CA=CB，OA交⊙O于點(diǎn)E．
（1）證明：直線AB與⊙O相切；
（2）若AE=a，AB=b，求⊙O的半徑；（結(jié)果用a，b表示）
（3）過(guò)點(diǎn)C作弦CD⊥OA于點(diǎn)H，試探究⊙O的直徑與OH、OB之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．

Answer 1

分析 （1）利用段垂直平分線的性質(zhì)得出OC⊥AB，進(jìn)而得出答案即可；
（2）利用勾股定理得出OC²+AC²=OA²，進(jìn)而得出⊙O的半徑；
（3）首先得出△HOC∽△COA，進(jìn)而得出OC²=OH×OA，即可得出⊙O的直徑與OH、OB之間的數(shù)量關(guān)系．

解答 （1）證明：如圖所示：連接CO，
∵OA=OB，AC=BC，
∴OC⊥AB，
∵OC為⊙O的半徑，
∴直線AB與⊙O相切；

（2）解：在直角三角形OAC中用勾股定理就可以了．設(shè)半徑為r，則OC=r，OA=a+r，
AC=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$b，
在Rt△AOC中，
OC²+AC²=OA²，
則r²+$\frac{1}{4}$b²=（a+r）²，
解得：r=$\frac{^{2}}{8a}$-$\frac{a}{2}$；

（3）d²=4OH×OB，
理由：∵OA⊥CD，OC⊥AC，
∴∠OCA=∠OHC，
∵∠HOC=∠COA，
∴△HOC∽△COA，
∴$\frac{OH}{OC}$=$\frac{OC}{OA}$，
即OC²=OH×OA，
∵OC垂直平分AB，
∴OA=OB，
設(shè)直徑為d，則OC=$\fracemwmoy2{2}$，
∴（$\fracq8s2aqs{2}$）²=OH×OB，
即d²=4OH×OB．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了圓的綜合以及相似三角形的判定與性質(zhì)，得出△HOC∽△COA是解題關(guān)鍵．