Question

20．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)y=3x+2的圖象與y軸交于點(diǎn)A，與反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（k≠0）在第一象限內(nèi)的圖象交于點(diǎn)B，且點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為1．過(guò)點(diǎn)A作AC⊥y軸交反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（k≠0）的圖象于點(diǎn)C，連接BC．
（1）求反比例函數(shù)的表達(dá)式．
（2）求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）先由一次函數(shù)y=3x+2的圖象過(guò)點(diǎn)B，且點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為1，將x=1代入y=3x+2，求出y的值，得到點(diǎn)B的坐標(biāo)，再將B點(diǎn)坐標(biāo)代入y=$\frac{k}{x}$，利用待定系數(shù)法即可求出反比例函數(shù)的表達(dá)式；
（2）先由一次函數(shù)y=3x+2的圖象與y軸交于點(diǎn)A，求出點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，2），再將y=2代入y=$\frac{5}{x}$，求出x的值，那么AC=$\frac{5}{2}$．過(guò)B作BD⊥AC于D，則BD=y_B-y_C=5-2=3，然后根據(jù)S_△ABC=$\frac{1}{2}$AC•BD，將數(shù)值代入計(jì)算即可求解．

解答 解：（1）∵一次函數(shù)y=3x+2的圖象過(guò)點(diǎn)B，且點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為1，
∴y=3×1+2=5，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，5）．
∵點(diǎn)B在反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的圖象上，
∴k=1×5=5，
∴反比例函數(shù)的表達(dá)式為y=$\frac{5}{x}$；

（2）∵一次函數(shù)y=3x+2的圖象與y軸交于點(diǎn)A，
∴當(dāng)x=0時(shí)，y=2，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，2），
∵AC⊥y軸，
∴點(diǎn)C的縱坐標(biāo)與點(diǎn)A的縱坐標(biāo)相同，是2，
∵點(diǎn)C在反比例函數(shù)y=$\frac{5}{x}$的圖象上，
∴當(dāng)y=2時(shí)，2=$\frac{5}{x}$，解得x=$\frac{5}{2}$，
∴AC=$\frac{5}{2}$．
過(guò)B作BD⊥AC于D，則BD=y_B-y_C=5-2=3，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AC•BD=$\frac{1}{2}$×$\frac{5}{2}$×3=$\frac{15}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式，反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，平行于y軸的直線上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，三角形的面積，難度適中．求出反比例函數(shù)的解析式是解題的關(guān)鍵．