Question

若拋物線y=x²+2mx+2m-

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4

（m＞0）與x軸的兩個交點在（1，0）兩邊，則關于x的方程x²+（2m-1）x+

1

8

=0的根的情況是

 

．

Answer 1

考點：拋物線與x軸的交點,根的判別式

專題：

分析：因為拋物線y=x²+2mx+m-7與x軸的兩個交點在（1，0）兩旁，由此求出m取值范圍，進而由方程x²+（2m-1）x+

1

8

=0的“△”確定根的情況．

解答：解：∵拋物線y=x²+2mx+2m-

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4

與x軸的兩個交點在（1，0）兩旁，
∴關于x的方程y=x²+2mx+2m-

5

4

，有兩個不相等的實數(shù)根，
∴△=b²-4ac＞0，
即：（2m）²-4（2m-

5

4

）=4（m-1）²+1＞0，
∴m為任意實數(shù)①
設拋物線y=x²+2mx+2m-

5

4

與x軸的兩個交點的坐標分別為（α，0）、（β，0），且α＜β
∴α、β是關于x的方程x²+2mx+2m-

5

4

=0的兩個不相等的實數(shù)根，
由根與系數(shù)關系得：α+β=-2m，αβ=2m-

5

4

，
∵拋物線y=x²+2mx+2m-

5

4

與x軸的兩個交點分別位于點（1，0）的兩旁
∴α＜1，β＞1
∴（α-1）（β-1）＜0
∴αβ-（α+β）+1＜0
∴（2m-

5

4

）+2m+1＜0
解得：m＜

1

16

②，
∵m＞0，
∴0＜m＜

1

16

，
由①、②得m的取值范圍是0＜m＜

1

16

；
∵方程x²+（2m-1）x+

1

8

=0的根的判別式為：
（2m-1）²-4×

1

8

，
=（2m-1）²-

1

2

，
∵0＜m＜

1

16

，
∴（2m-1）²-

1

2

＞0，
∴方程有兩個不相等的實數(shù)根．
故答案為：方程有兩個不相等的實數(shù)根．

點評：本題考查了拋物線與x軸的交點問題，注：當拋物線y=ax²+bx+c與軸有兩個交點時，一元二次方程ax²+bx+c=0有兩個不等的實數(shù)根即△＞0；當拋物線y=ax²+bx+c與軸有一個交點時，一元二次方程ax²+bx+c=0有兩個相等的實數(shù)根即△=0；當拋物線y=ax²+bx+c與軸無交點時，一元二次方程ax²+bx+c=0無實數(shù)根即△＜0．