Question

3．如圖，AB為⊙O的直徑，弦CD平分圓周角∠ACB，交AB于E，若AC=2BC，求$\frac{CE}{DE}$的值．

Answer 1

分析 設BC=x，則AC=2x，由AB為⊙O的直徑，得到∠ACB=90°，根據勾股定理得到AB=$\sqrt{5}$x，根據三角形的面積公式得到CF=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$x，連接OD，過C作CF⊥AB于F，通過△OED∽△CFE，即可得到結論．

解答 解：∵AC=2BC，
∴設BC=x，則AC=2x，
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∴AB=$\sqrt{5}$x，
∴CF=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$x，
連接OD，過C作CF⊥AB于F，
∵弦CD平分圓周角∠ACB，
∴$\widehat{AD}$=$\widehat{BD}$，
∴OD⊥AB，
∴∠DOE=∠CFO=90°，
∵∠OED=∠CEF，
∴△OED∽△CFE，
∴$\frac{CE}{DE}=\frac{CF}{OD}$=$\frac{\frac{2\sqrt{5}}{5}x}{\frac{\sqrt{5}}{2}x}$=$\frac{4}{5}$．

點評 本題考查了相似三角形的判定和性質，圓周角定理，垂徑定理，正確的在作出輔助線是解題的關鍵．