Question

8．如圖所示，拋物線y=ax²+bx+c與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，4），且此拋物線頂點(diǎn)為D（1，$\frac{9}{2}$）．
（1）求拋物線的解析式（化為一般形式）
（2）連接BD，點(diǎn)P是線段BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與B、D重合），過(guò)點(diǎn)P作PE⊥y軸，垂足是點(diǎn)E，連接BE．設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，y），△PBE的面積為S，求S與x之間的函數(shù)關(guān)系式，寫(xiě)出自變量x的取值范圍，并求出S的最大值；
（3）在（2）的條件下，當(dāng)S取最大值時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作PF⊥x軸，垂足是點(diǎn)F，連接EF，把△PEF沿直線EF折疊
，點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)P′，請(qǐng)直接寫(xiě)出P′點(diǎn)的坐標(biāo)（不必畫(huà)圖），并直接判斷點(diǎn)P′是否在該拋物線上．

Answer 1

分析 （1）由拋物線頂點(diǎn)D的坐標(biāo)是（1，$\frac{9}{2}$），設(shè)拋物線解析式為y=a（x-1）²+$\frac{9}{2}$，再把C（0，4）代入，得出關(guān)于a的方程，解方程求出a=-$\frac{1}{2}$，即可得出拋物線的解析式；
（2）根據(jù)拋物線的解析式求出B點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出直線BD的解析式為y=-$\frac{3}{2}$x+6，由點(diǎn)P是線段BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，可設(shè)P（x，-$\frac{3}{2}$x+6）．得出PE=x，OE=-$\frac{3}{2}$x+6，再根據(jù)三角形的面積公式列式得出S=$\frac{1}{2}$PE•OE=$\frac{1}{2}$xy=$\frac{1}{2}$x（-$\frac{3}{2}$x+6）=-$\frac{3}{4}$x²+3x（1＜x＜4），利用配方法化為頂點(diǎn)式求出S的最大值；
（3）在（2）的條件下，當(dāng)S取最大值時(shí)，P（2，3），則E（0，3），F(xiàn)（2，0）．畫(huà)出圖形．利用待定系數(shù)法求出直線EF的解析式為y=-$\frac{3}{2}$x+3．根據(jù)折疊的性質(zhì)得出P′E=PE=2，PP′⊥EF，由互相垂直的兩直線斜率之積為-1，得出直線PP′的斜率為$\frac{2}{3}$，再求出直線PP′的解析式為y=$\frac{2}{3}$x+$\frac{5}{3}$，設(shè)P′（x，$\frac{2}{3}$x+$\frac{5}{3}$），根據(jù)P′E=2列出方程x²+（$\frac{2}{3}$x+$\frac{5}{3}$-3）²=4，解方程求出x的值，進(jìn)而求解即可．

解答 解：（1）∵拋物線頂點(diǎn)D（1，$\frac{9}{2}$），
∴設(shè)拋物線解析式為y=a（x-1）²+$\frac{9}{2}$，
又∵拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)C（0，4），
∴4=a+$\frac{9}{2}$，解得a=-$\frac{1}{2}$，
∴拋物線解析式為y=-$\frac{1}{2}$（x-1）²+$\frac{9}{2}$，即y=-$\frac{1}{2}$x²+x+4；

（2）令-$\frac{1}{2}$x²+x+4=0，解得x₁=-2，x₂=4，
故A（-2，0）、B（4，0）．
設(shè)直線BD解析式為y=mx+n（m≠0），
∵B（4，0），D（1，$\frac{9}{2}$），
∴$\left\{\begin{array}{l}{4m+n=0}\\{m+n=\frac{9}{2}}\end{array}\right.$，
解得m=-$\frac{3}{2}$，n=6，
直線BD解析式為y=-$\frac{3}{2}$x+6，
∵點(diǎn)P是線段BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，
∴可設(shè)P（x，-$\frac{3}{2}$x+6）．
又∵PE⊥y軸，
∴PE=x，OE=-$\frac{3}{2}$x+6，
∴S=$\frac{1}{2}$PE•OE=$\frac{1}{2}$xy=$\frac{1}{2}$x（-$\frac{3}{2}$x+6）=-$\frac{3}{4}$x²+3x（1＜x＜4），
∴S=-$\frac{3}{4}$x²+3x=-$\frac{3}{4}$（x²-4x+4-4）=-$\frac{3}{4}$（x-2）²+3，
∴當(dāng)x=2時(shí)，S有最大值，最大值為3；

（3）如圖，在（2）的條件下，當(dāng)S取最大值時(shí)，P（2，3），則E（0，3），F(xiàn)（2，0）．
易求直線EF的解析式為y=-$\frac{3}{2}$x+3．
∵把△PEF沿直線EF折疊，點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)P′，
∴P′E=PE=2，PP′⊥EF，
∴直線PP′的斜率為$\frac{2}{3}$，
設(shè)直線PP′的解析式為y=$\frac{2}{3}$x+p，
把P（2，3）代入，得3=$\frac{2}{3}$x+p，解得p=$\frac{5}{3}$，
∴直線PP′的解析式為y=$\frac{2}{3}$x+$\frac{5}{3}$，
∴可設(shè)P′（x，$\frac{2}{3}$x+$\frac{5}{3}$），
∵P′E=2，E（0，3），
∴x²+（$\frac{2}{3}$x+$\frac{5}{3}$-3）²=4，
整理得，13x²-16x-20=0，
解得x₁=-$\frac{10}{13}$，x₂=2（不合題意舍去），
∴x=-$\frac{10}{13}$，
$\frac{2}{3}$x+$\frac{5}{3}$=$\frac{2}{3}$×（-$\frac{10}{13}$）+$\frac{5}{3}$=$\frac{15}{13}$，
此時(shí)P′坐標(biāo)為（-$\frac{10}{13}$，$\frac{15}{13}$）．
∵y=-$\frac{1}{2}$x²+x+4，
∴當(dāng)x=-$\frac{10}{13}$時(shí)，y=-$\frac{1}{2}$×（-$\frac{10}{13}$）²+（-$\frac{10}{13}$）+4=$\frac{496}{169}$≠$\frac{15}{13}$，
∴該點(diǎn)不在拋物線上．

點(diǎn)評(píng) 本題是二次函數(shù)綜合題，其中涉及到利用待定系數(shù)法求拋物線、直線的解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，三角形的面積，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征等知識(shí)，綜合性較強(qiáng)，難度適中．利用方程思想與數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．