Question

4．如圖，點(diǎn)A是雙曲線y=$\frac{k}{x}$（x＞0）上的一點(diǎn)，連結(jié)OA，在線段OA上取一點(diǎn)B，作BC⊥x軸于點(diǎn)C，以BC的中點(diǎn)為對(duì)稱中心，作點(diǎn)O的中心對(duì)稱點(diǎn)O′，當(dāng)O′落在這條雙曲線上時(shí)，$\frac{OB}{OA}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 過點(diǎn)A作AD⊥x軸于點(diǎn)D，由點(diǎn)A在反比例函數(shù)圖象上設(shè)出點(diǎn)A的坐標(biāo)，由O、A點(diǎn)的坐標(biāo)即可得出直線OA的解析式，設(shè)出點(diǎn)B的坐標(biāo)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式以及中心對(duì)稱的性質(zhì)找出點(diǎn)O′的坐標(biāo)，根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征即可得出點(diǎn)B、A橫坐標(biāo)之間的關(guān)系，由此即可得出結(jié)論．

解答 解：過點(diǎn)A作AD⊥x軸于點(diǎn)D，如圖所示．

∵點(diǎn)A在反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的圖象上，
∴設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（m，$\frac{k}{m}$），
∴直線OA的解析式為y=$\frac{k}{{m}^{2}}$x，
設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（n，$\frac{kn}{{m}^{2}}$），則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（n，0），
線段BC中點(diǎn)的坐標(biāo)為（n，$\frac{kn}{2{m}^{2}}$）．
∵點(diǎn)O、O′關(guān)于點(diǎn)（n，$\frac{kn}{2{m}^{2}}$）對(duì)稱，
∴點(diǎn)O′的坐標(biāo)為（2n，$\frac{kn}{{m}^{2}}$）．
∵點(diǎn)O′在反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的圖象上，
∴2n•$\frac{kn}{{m}^{2}}$=k，即$\frac{{n}^{2}}{{m}^{2}}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{n}{m}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∵BC⊥x軸，AD⊥x軸，
∴BC∥AD，
∴$\frac{OB}{OA}=\frac{OC}{OD}$=$\frac{n}{m}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題已經(jīng)平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是找出$\frac{n}{m}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．本題屬于中檔題，難度不大，但運(yùn)算稍顯繁瑣，解決該題型題目時(shí)，設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用平行線的性質(zhì)找出線段間的比例關(guān)系是關(guān)鍵．