Question

已知關(guān)于x的方程x²-mx+

m

2

-

1

4

=0．
（1）求證：無(wú)論m取什么數(shù)，方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；
（2）若?ABCD的兩邊AB，AD的長(zhǎng)是已知方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根；
①當(dāng)m為何值時(shí)，?ABCD是菱形？求出這時(shí)菱形的邊長(zhǎng)；
②若AB的長(zhǎng)為2，那么?ABCD的周長(zhǎng)是多少？

Answer 1

考點(diǎn)：平行四邊形的性質(zhì),根的判別式,菱形的判定

專(zhuān)題：

分析：（1）由△=（-m）²-4×1×（

m

2

-

1

4

）=m²-2m+1=（m-1）²≥0，即可判定無(wú)論m取什么數(shù)，方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；
（2）①由當(dāng)△=（m-1）²=0時(shí)，?ABCD是菱形，即可求得m的值，然后代入原方程，即可求得時(shí)菱形的邊長(zhǎng)；
②由AB=2，代入x²-mx+

m

2

-

1

4

=0，即可求得m的值，然后代入原方程，即可求得?ABCD的邊長(zhǎng)，繼而求得答案．

解答：（1）證明：∵△=（-m）²-4×1×（

m

2

-

1

4

）=m²-2m+1=（m-1）²≥0，
∴無(wú)論m取什么數(shù)，方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；

（2）解：①∵?ABCD是菱形，
∴AB=AD，
∴當(dāng)△=（m-1）²=0時(shí)，
即m=1時(shí)，?ABCD是菱形，
把m=1代入已知方程可得：x²-x+

1

4

=0，
解得：x₁=x₂=

1

2

；
∴這時(shí)菱形的邊長(zhǎng)為：

1

2

；

②∵AB=2，
∴2²-2m+

m

2

-

1

4

=0，
解得：m=

5

2

，
把x=

5

2

代入已知方程，可得：x²-

5

2

x+1=0，
解得：x₁=2，x₂=

1

2

，
∴?ABCD的周長(zhǎng)是：2×（2+

1

2

）=5．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了平行四邊形的性質(zhì)以及一元二次方程根的情況．此題難度適中，注意掌握方程思想的應(yīng)用．