Question

16．如圖，AB是⊙O的直徑，點D是⊙O上的一點，OC∥AD交⊙O于點E，點F在CD的延長線上，∠BOC+∠ADF=90°．
（1）求證：CD是⊙O的切線；
（2）若AB=6，CD=4，求CE．

Answer 1

分析 （1）連結OD，由OC∥AD得到∠BOC=∠A，而∠ODA=∠A，則∠ODA=∠BOC，由于∠BOC+∠ADF=90°，所以∠ODA+∠ADF=90°，然后根據切線的判定定理得到結論；
（2）延長CO交⊙O于H，于是得到EH=AB=6，根據切割線定理即可得到結論．

解答 （1）證明：連結OD，如圖，
∵OC∥AD，
∴∠BOC=∠A，
而OD=OA，
∴∠ODA=∠A，
∴∠ODA=∠BOC，
∵∠BOC+∠ADF=90°，
∴∠ODA+∠ADF=90°，
即∠ODF=90°，
∴OD⊥DF，
∴CD是⊙O的切線；

（2）延長CO交⊙O于H，
∴EH=AB=6，
∵CD是⊙O的切線，
∴CD²=CE•CH，
即4²=CE（CE+6），
∴CE=2（負值舍去）．

點評 本題考查了切線的判定定理，切割線定理，知道經過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線是解題的關鍵．