Question

17．如圖，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，AO=$\sqrt{3}$，BO=1，AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)E，交射線BO于點(diǎn)F．點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿射線AO以每秒2$\sqrt{3}$個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)O出發(fā)沿OB方向以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)P、Q同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．
（1）當(dāng)t=$\frac{3}{5}$時(shí)，PQ∥EF；
（2）若P、Q關(guān)于點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)分別為P′、Q′，線段PQ與P′Q′的中點(diǎn)分別為M、M′，連結(jié)MM′，當(dāng)線段MM′與線段EF有公共點(diǎn)時(shí)，t的取值范圍是0≤t≤$\frac{1}{7}$或$\frac{5}{7}$≤t≤1．

Answer 1

分析 （1）利用平行線的性質(zhì)結(jié)合相似三角形的判定與性質(zhì)得出△AEN∽△QOP，進(jìn)而利用銳角三角函數(shù)關(guān)系求出即可；
（2）先求得直線AB的解析式y(tǒng)=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+1，由EF是AB的垂直平分線可得直線EF解析式為y=$\sqrt{3}$x-1，由P（$\sqrt{3}$-2$\sqrt{3}$t，0）、Q（0，t）知PQ的中點(diǎn)M（$\frac{\sqrt{3}-2\sqrt{3}t}{2}$，$\frac{t}{2}$），進(jìn)而得出直線MM′解析式為y=$\frac{\sqrt{3}t}{3（1-2t）}$x，聯(lián)立立$\left\{\begin{array}{l}{y=\sqrt{3}x-1}\\{y=\frac{\sqrt{3}t}{3（1-2t）}x}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{3}（1-2t）}{3-7t}}\\{y=\frac{t}{3-7t}}\end{array}\right.$，根據(jù)線段MM′與線段EF有公共點(diǎn)知0≤$\frac{\sqrt{3}（1-2t）}{3-7t}$≤$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且$\frac{\sqrt{3}（2t-1）}{2}$≤$\frac{\sqrt{3}（1-2t）}{3-7t}$≤$\frac{\sqrt{3}（1-2t）}{2}$，分類討論解不等式組得出答案．

解答 解：（1）如圖1，

當(dāng)PQ∥EF時(shí)，
則∠QPO=∠ENA，
又∵∠AEN=∠QOP=90°，
∴△AEN∽△QOP，
∵∠AOB=90°，AO=$\sqrt{3}$，BO=1，
∴tanA=$\frac{BO}{AO}$=$\frac{1}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠A=∠PQO=30°，
∴$\frac{PO}{QO}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{2\sqrt{3}t-\sqrt{3}}{t}$，
解得：t=$\frac{3}{5}$，
故當(dāng)t=$\frac{3}{5}$時(shí)，PQ∥EF；
故答案為：$\frac{3}{5}$；   

（2）根據(jù)題意知點(diǎn)A（$\sqrt{3}$，0）、B（0，1），
設(shè)直線AB解析式為y=kx+b，
則$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{3}k+b=0}\\{b=1}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{\sqrt{3}}{3}}\\{b=1}\end{array}\right.$，
即直線AB解析式為y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+1，
∵EF是AB的垂直平分線，
∴點(diǎn)E（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$），且k_EF=$\sqrt{3}$，
則直線EF解析式為y=$\sqrt{3}$（x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）+$\frac{1}{2}$=$\sqrt{3}$x-1；
∵AP=2$\sqrt{3}$t，OQ=t，
∴OP=$\sqrt{3}$-2$\sqrt{3}$t，
則P（$\sqrt{3}$-2$\sqrt{3}$t，0）、Q（0，t），
∴PQ的中點(diǎn)M（$\frac{\sqrt{3}-2\sqrt{3}t}{2}$，$\frac{t}{2}$），
∵P、Q關(guān)于點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)分別為P′、Q′，
∴線段PQ與P′Q′的中點(diǎn)M、M′關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，
∴直線MM′過原點(diǎn)，
設(shè)直線MM′的解析式為y=mx，
將點(diǎn)M代入得$\frac{\sqrt{3}-2\sqrt{3}t}{2}$m=$\frac{t}{2}$，
解得：m=$\frac{\sqrt{3}t}{3（1-2t）}$，
∴直線MM′解析式為y=$\frac{\sqrt{3}t}{3（1-2t）}$x，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=\sqrt{3}x-1}\\{y=\frac{\sqrt{3}t}{3（1-2t）}x}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{3}（1-2t）}{3-7t}}\\{y=\frac{t}{3-7t}}\end{array}\right.$，
∵線段MM′與線段EF有公共點(diǎn)，
∴0≤$\frac{\sqrt{3}（1-2t）}{3-7t}$≤$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且$\frac{\sqrt{3}（2t-1）}{2}$≤$\frac{\sqrt{3}（1-2t）}{3-7t}$≤$\frac{\sqrt{3}（1-2t）}{2}$，
①當(dāng)$\left\{\begin{array}{l}{3-7t＞0}\\{1-2t≥0}\end{array}\right.$，即t＜$\frac{3}{7}$時(shí)，解以上不等式組得t≤$\frac{1}{7}$，故此時(shí)t≤$\frac{1}{7}$；
②當(dāng)$\left\{\begin{array}{l}{3-7t＞0}\\{1-2t≤0}\end{array}\right.$，不等式組無解；
③$\left\{\begin{array}{l}{3-7t＜0}\\{1-2t≥0}\end{array}\right.$，即$\frac{3}{7}$＜t≤$\frac{1}{2}$時(shí)，解以上不等式組得t≥$\frac{5}{7}$，不符合此種情況的前提；
④$\left\{\begin{array}{l}{3-7t＜0}\\{1-2t≤0}\end{array}\right.$，即t≥$\frac{1}{2}$時(shí)，解以上不等式組得t≥$\frac{5}{7}$，故此時(shí)t≥$\frac{5}{7}$；
∵0≤t≤1，
∴0≤t＜$\frac{3}{7}$或$\frac{1}{2}$≤t≤1．
故答案為：0≤t≤$\frac{1}{7}$或$\frac{5}{7}$≤t≤1．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及線段垂直平分線的性質(zhì)直線相交等知識(shí)，根據(jù)兩線段相交得出關(guān)于t的不等式組是解題關(guān)鍵．