Question

1．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=2x上有一點(diǎn)A，點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為2，直線y=kx+b經(jīng)過點(diǎn)A與x軸正半軸交于點(diǎn)B．△AOB的面積為10，點(diǎn)P是線段OA上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PH∥x軸交線段AB于H，點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為m．
（1）求直線AB的解析式；
（2）設(shè)PH的長為d，求出d與m之間的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出m的取值范圍．
（3）當(dāng)點(diǎn)P在OA上時(shí)，作PK⊥x軸于K，當(dāng)PK=$\frac{4}{5}$PH時(shí)，在x軸確定點(diǎn)Q，使PQ+QA的和最小，求出點(diǎn)Q坐標(biāo)．（寫出正確的求解過程，不必證明）

Answer 1

分析 （1）先求得A的坐標(biāo)，然后根據(jù)三角形的面積求得B的坐標(biāo)，進(jìn)而根據(jù)待定系數(shù)法即可求得．
（2）根據(jù)相似三角形對應(yīng)高的比等于相似比，由△APH∽△AOB得出$\fracsl0nvgl{5}$=$\frac{4-m}{4}$，從而求得d與m之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）根據(jù)已知求得P的坐標(biāo)，然后求得P關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)P′的坐標(biāo)，設(shè)直線P′A的解析式為y=k₁x+b₁，把A、P′的坐標(biāo)代入，根據(jù)待定系數(shù)法求得解析式，令y=0，則x=$\frac{4}{3}$，即可求得Q的坐標(biāo)（$\frac{4}{3}$，0）．

解答 解；（1）∵直線y=2x上有一點(diǎn)A，點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為2，
∴y=2×2=4，
∴A（2，4）
∵△AOB的面積為10，
∴$\frac{1}{2}$OB•y_A=10，
∴OB=5，
∴B（5，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{2k+b=4}\\{5k+b=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{4}{3}}\\{b=\frac{20}{3}}\end{array}\right.$，
∴直線AB的解析式為y=-$\frac{4}{3}$x+$\frac{20}{3}$；
（2）∵PH∥x軸，
∴△APH∽△AOB，
∴$\fracbru9plh{5}$=$\frac{4-m}{4}$，
∴d=-$\frac{5}{4}$m+5，（0≤m≤4）；
（3）∵PK=$\frac{4}{5}$PH，
∴PH=$\frac{5}{4}$PK，
設(shè)PH的長為d，點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為m，
∴d=$\frac{5}{4}$m，
∵d=-$\frac{5}{4}$m+5，
∴$\frac{5}{4}$m=-$\frac{5}{4}$m+5，解得m=2，
∴PK=2，
∴P的縱坐標(biāo)為2，
代入y=2x，解得x=1，
∴P（1，2），
如圖，作P關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)P′，連接P′A，與x軸的交點(diǎn)即為Q點(diǎn)，此時(shí)PQ+QA的和最��；
∵P（1，2），
∴P′（1，-2），
設(shè)直線P′A的解析式為y=k₁x+b₁，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2{k}_{1}+_{1}=4}\\{{k}_{1}+_{1}=-2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{1}=6}\\{_{1}=-8}\end{array}\right.$，
∴直線P′A的解析式為y=6x-8；
令y=0，則x=$\frac{4}{3}$，
∴Q（$\frac{4}{3}$，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題是一次函數(shù)的綜合題，考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式和二次函數(shù)的解析式，三角形相似的判定和性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，軸對稱-最短路線問題，待定系數(shù)法以及相似三角形的性質(zhì)是考查的重點(diǎn)內(nèi)容，同學(xué)們應(yīng)學(xué)會(huì)應(yīng)用．