Question

11．如圖，直線y=$\frac{1}{5}$x-1與x軸、y軸分別相交于B、A，點(diǎn)M為雙曲線y=$\frac{k}{x}$（k＞0）上一點(diǎn)，若△AMB是以AB為底的等腰直角三角形，求k的值．

Answer 1

分析 直線y=$\frac{1}{5}$x-1與x軸、y軸分別相交于B、A，即可求得A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)；由△AMB是以AB為底的等腰直角三角形，可求得AM=BM，∠MAB=∠MBA=45°，∠AMB=90°，易求得∠MAD=∠MBC，即可利用AAS判定：△AMD≌△BMC，可得AD=BC，DM=CM，即可得OC=OD，又由OA=1，OB=5，即可求得點(diǎn)M的坐標(biāo)，繼而求得k的值．

解答 解：∵直線y=$\frac{1}{5}$x-1與x軸，y軸分別相交于B、A，
∴當(dāng)x=0時(shí)，y=-1；當(dāng)y=0時(shí)，x=5，
∴A點(diǎn)坐標(biāo)的坐標(biāo)為（0，-1），B點(diǎn)坐標(biāo)為（5，0）；
∵△AMB是以AB為底的等腰直角三角形，
∴AM=BM，∠MAB=∠MBA=45°，∠AMB=90°，
∵∠MAD+∠MAB+∠OBA=90°，
∴∠MAD+∠OBA=45°，
∵∠MBC+∠OBA=45°，
∴∠MAD=∠MBC，
∵M(jìn)C⊥x軸，MD⊥y軸，
∴∠ADM=∠BCM=90°，
在△AMD和△BMC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠MAD=∠MBC}\\{∠ADM=∠BCM}\\{AM=BM}\end{array}\right.$，
∴△AMD≌△BMC（AAS）；
∴AD=BC，DM=CM，
∵∠COD=∠ODM=∠OCM=90°，
∴四邊形OCMD是正方形，
∵OA=1，OB=5，
設(shè)OD=x，
則AD=x+1，BC=5-x，
∵AD=BC，
∴x+1=5-x，
解得：x=2，
即OD=OC=2，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為：（2，2），
∴k=xy=4．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了反比例函數(shù)的應(yīng)用、待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式、全等三角形的判定與性質(zhì)以及等腰直角三角形的性質(zhì)．此題綜合性很強(qiáng)，難度較大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用．