Question

11．已知拋物線(xiàn)y=ax²+bx+3（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A（3、0）和點(diǎn)B（-1，0），與y軸交于點(diǎn)C，拋物線(xiàn)頂點(diǎn)為點(diǎn)D．
（1）求拋物線(xiàn)的表達(dá)式；
（2）直線(xiàn)AC交拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸于點(diǎn)T，拋物線(xiàn)上是否存在一點(diǎn)R，使△RDT與△RAT的面積相等？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)R的坐標(biāo)；若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）由A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求出拋物線(xiàn)的表達(dá)式；
（2）假設(shè)存在，設(shè)點(diǎn)R的坐標(biāo)為（n，-n²+2n+3）．將拋物線(xiàn)的表達(dá)式變形為頂點(diǎn)式，即可得出拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸的表達(dá)式以及點(diǎn)D的坐標(biāo)；令x=0，可求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，由A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)結(jié)合待定系數(shù)法即可求出直線(xiàn)AC的解析式，由兩直線(xiàn)相交可求出T點(diǎn)坐標(biāo)；結(jié)合點(diǎn)到直線(xiàn)的距離以及三角形的面積公式即可得出關(guān)于n的含絕對(duì)值的一元二次方程，解方程即可得出點(diǎn)R的橫坐標(biāo)，代入R點(diǎn)坐標(biāo)中即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）將點(diǎn)A（3、0）、點(diǎn)B（-1，0）代入拋物線(xiàn)y=ax²+bx+3中得：
$\left\{\begin{array}{l}{0=9a+3b+3}\\{0=a-b+3}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=2}\end{array}\right.$．
故拋物線(xiàn)的表達(dá)式為y=-x²+2x+3．
（2）假設(shè)存在，設(shè)點(diǎn)R的坐標(biāo)為（n，-n²+2n+3）．
∵拋物線(xiàn)y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為x=1，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，4）．
令x=0，則y=3，
即點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，3）．
∴設(shè)直線(xiàn)AC的解析式為y=kx+3，
∵點(diǎn)A（3，0）在直線(xiàn)AC上，
∴有0=3k+3=0，解得：k=-1，
∴直線(xiàn)AC的解析式為y=-x+3，即x+y-3=0．
令x=1，則y=-1+3=2，
即點(diǎn)T的坐標(biāo)為（1，2）．
∴DT=4-2=2，AT=$\sqrt{（3-1）^{2}+（0-2）^{2}}$=2$\sqrt{2}$．
點(diǎn)R到直線(xiàn)AC的距離d=$\frac{|n-{n}^{2}+2n+3-3|}{\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$|3n-n²|；
點(diǎn)R到直線(xiàn)x=1的距離h=|n-1|．
S_△RDT=$\frac{1}{2}$DT•h=|n-1|，S_△RAT=$\frac{1}{2}$AT•d=|3n-n²|．
∵△RDT與△RAT的面積相等，
∴|n-1|=|3n-n²|，
解得：n₁=2+$\sqrt{3}$，n₂=2-$\sqrt{3}$，n₃=1-$\sqrt{2}$，n₄=1+$\sqrt{2}$．
∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為（2+$\sqrt{3}$，-2$\sqrt{3}$），（2-$\sqrt{3}$，2$\sqrt{3}$），（1-$\sqrt{2}$，2）和（1+$\sqrt{2}$，2）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、點(diǎn)到直線(xiàn)的距離、三角形的面積公式以及解含絕對(duì)值的方程，解題的關(guān)鍵是：（1）待定系數(shù)法求函解析式；（2）解含絕對(duì)值的一元二次方程．本題屬于中檔題，（1）難度不大；（2）有點(diǎn)難度，難點(diǎn)在于解含絕對(duì)值的方程，解題過(guò)程中一點(diǎn)要細(xì)心仔細(xì)．