Question

12．如圖，AD，AE分別是△ABC的高和角平分線．
（1）已知∠B=40°，∠C=60°，求∠DAE的度數(shù)；
（2）設∠B=α，∠C=β（α＜β）．請直接寫出用α、β表示∠DAE的關系式$\frac{1}{2}$（β-α）．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)三角形內角和定理求出∠BAC，再根據(jù)角平分線的定義求出∠BAE，根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出∠BAD，然后求解即可．
（2）同（1）即可得出結果．

解答 解：（1）∵∠B=40°，∠C=60°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-40°-60°=80°，
∵AE是角平分線，
∴∠BAE=$\frac{1}{2}$∠BAC=$\frac{1}{2}$×80°=40°，
∵AD是高，
∴∠BAD=90°-∠B=90°-40°=50°，
∴∠DAE=∠BAD-∠BAE=50°-40°=10°；
（2）∵∠B=α，∠C=β（α＜β），
∴∠BAC=180°-（α+β），
∵AE是角平分線，
∴∠BAE=$\frac{1}{2}$∠BAC=90°-$\frac{1}{2}$（α+β），
∵AD是高，
∴∠BAD=90°-∠B=90°-α，
∴∠DAE=∠BAD-∠BAE=90°-α-[90°-$\frac{1}{2}$（α+β）]=$\frac{1}{2}$（β-α）；
故答案為：$\frac{1}{2}$（β-α）．

點評 本題考查了三角形的內角和定理，三角形的角平分線、高線的定義，直角三角形兩銳角互余的性質，熟記定理并準確識圖是解題的關鍵．