Question

已知α、β是方程x²-3x-5=0的兩根，求

25

2α-1

+

13

α+2β

+β²的值．

Answer 1

考點：根與系數(shù)的關系

專題：

分析：先由一元二次方程的解的定義及根與系數(shù)的關系得出α=3-β，αβ=-5，β²=3β+5，將它們代入

25

2α-1

+

13

α+2β

+β²，化簡即可求解．

解答：解：∵α、β是方程x²-3x-5=0的兩根，
∴α+β=3，αβ=-5，β²-3β-5=0．
∴α=3-β，β²=3β+5，
∴

25

2α-1

+

13

α+2β

+β²
=

25

2(3-β)-1

+

13

3-β+2β

+3β+5
=

25

5-2β

+

13

3+β

+3β+5
=

25(3+β)+13(5-2β)

(5-2β)(3+β)

+3β+5
=

140-β

5-7β

+3β+5
=

140-β+3β(5-7β)

5-7β

+5
=

35-49β

5-7β

+5
=7+5
=12．

點評：本題考查了根與系數(shù)的關系：x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的兩根時，x₁+x₂=-

b

a

，x₁x₂=

c

a

．同時考查了一元二次方程的解的定義及分式的化簡求值．