Question

6．如圖，拋物線y=ax²+bx+2與x軸交于點(diǎn)A（-1，0），B（4，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，與過點(diǎn)C且平行x軸的直線交于另一點(diǎn)D．
（1）求a、b的值及D的坐標(biāo)；
（2）若直線l過點(diǎn)M（0，-$\frac{3}{7}$），且平分四邊形ABDC的面積，求直線l的解析式．

Answer 1

分析 （1）把A，B坐標(biāo)代入拋物線解析式即可求出a，b的值，再令x=0求出C點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)一步求出D點(diǎn)坐標(biāo)即可；
（2）設(shè)出l的解析式，表示出與AB，CD的交點(diǎn)，根據(jù)平分面積列方程求解即可．

解答 解：（1）∵y=ax²+bx+2與x軸交于點(diǎn)A（-1，0），B（4，0）兩點(diǎn)，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a-b+2=0}\\{16a+4b+2=0}\end{array}\right.$，
解得：a=$-\frac{1}{2}$，b=$\frac{3}{2}$；
∴y=${-\frac{1}{2}x}^{2}+\frac{3}{2}x+2$，
當(dāng)x=0時(shí)，y=2，
∴點(diǎn)C（0，2），
當(dāng)y=2時(shí)，${-\frac{1}{2}x}^{2}+\frac{3}{2}x+2$=2，
解得：x=0，或x=3，
∴點(diǎn)D（3，2）；
（2）如圖1

直線l過點(diǎn)M（0，-$\frac{3}{7}$），
可設(shè)l：y=kx$-\frac{3}{7}$，交AB于點(diǎn)E，交CD于點(diǎn)F，
當(dāng)y=0時(shí)，x=$\frac{\frac{3}{7}}{k}$，當(dāng)y=2時(shí)，x=$\frac{\frac{17}{7}}{k}$，
∴FD=3-$\frac{\frac{17}{7}}{k}$，BE=4-$\frac{\frac{3}{7}}{k}$，
由題意可得：FD+BM=$\frac{1}{2}（AB+CD）$=$\frac{1}{2}×（5+3）$=4，
∴3-$\frac{\frac{17}{7}}{k}$+4-$\frac{\frac{3}{7}}{k}$=4，
解得：k=$\frac{20}{21}$；
∴直線l的解析式為：y=$\frac{20}{21}$x-$\frac{3}{7}$．

點(diǎn)評 此題主要考查拋物線的圖象交點(diǎn)問題，會(huì)用點(diǎn)求解析式，會(huì)待定直線解析式解決均分圖形面積是解題的關(guān)鍵．