Question

1．已知AB∥CD，點P是AC上的一點，且∠PBC=∠PDC，AB=kBC
（1）若k=1，探索PD與PB的關(guān)系，并證明；
（2）若∠ABC=90°，探索PD與PB關(guān)系，并證明；
（3）如圖3，探索PD與PB關(guān)系，并證明．

Answer 1

分析 （1）若k=1，則PD=PB．首先根據(jù)k=1，判斷出∠BCA=∠BAC，再根據(jù)AB∥CD，判斷出∠DCP=∠BAC，據(jù)此推得∠BCA=∠DCP；然后根據(jù)全等三角形判定的方法，判斷出△PBC≌△PDC，即可推得PD=PB．
（2）若∠ABC=90°，則PD=$\frac{PB}{k}$．首先根據(jù)AB∥CD，∠ABC=90°，推得∠BCD=90°，設(shè)∠ACB=α，則∠ACD=90°-α；然后在△PBC和△PCD中，由正弦定理以及∠PBC=∠PDC，推得$\frac{PB}{sinα}=\frac{PD}{sin（90°-α）}$=$\frac{PD}{cosα}$，再根據(jù)AB=kBC，推得PD=$\frac{PB}{k}$即可．
（3）PD與PB關(guān)系為：PD=$\frac{PB}{k}$．首先根據(jù)AB∥CD，可得∠DCP=∠BAC，設(shè)∠ACB=α，∠BAC=β，則∠DCP=β；然后在△PBC和△PCD中，由正弦定理以及∠PBC=∠PDC，推得$\frac{PB}{PD}$=$\frac{sinα}{sinβ}$；最后在△ABC中，由正弦定理以及AB=kBC，可得$\frac{AB}{BC}=\frac{sinα}{sinβ}$=k，據(jù)此推得PD=$\frac{PB}{k}$即可．

解答 解：（1）若k=1，則PD=PB．
證明：如圖1，

∵k=1，
∴AB=kBC=BC，
∴∠BCA=∠BAC，
∵AB∥CD，
∴∠DCP=∠BAC，
∴∠BCA=∠DCP，
在△PBC和△PDC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BCP=∠DCP}\\{∠PBC=∠PDC}\\{PC=PC}\end{array}\right.$，
∴△PBC≌△PDC（AAS），
∴PD=PB．

（2）若∠ABC=90°，則PD=$\frac{PB}{k}$．
證明：如圖2，

∵AB∥CD，∠ABC=90°，
∴∠BCD=180°-∠ABC=180°-90°=90°，
設(shè)∠ACB=α，則∠ACD=90°-α，
在△PBC中，由正弦定理，可得
$\frac{PB}{sinα}=\frac{PC}{sin∠PBC}$
在△PCD中，由正弦定理，可得
$\frac{PD}{sin（90°-α）}=\frac{PC}{sin∠PDC}$
∵∠PBC=∠PDC，
∴sin∠PBC=sin∠PDC，
∴$\frac{PC}{sin∠PBC}=\frac{PC}{sin∠PDC}$，
∴$\frac{PB}{sinα}=\frac{PD}{sin（90°-α）}$=$\frac{PD}{cosα}$，
∴$\frac{PB}{PD}$=$\frac{sinα}{cosα}=tanα$，
又∵AB=kBC，
∴tanα=$\frac{AB}{BC}=k$，
∴$\frac{PB}{PD}=k$，
∴PD=$\frac{PB}{k}$．

（3）PD與PB關(guān)系為：PD=$\frac{PB}{k}$．
證明：如圖3，

∵AB∥CD，
∴∠DCP=∠BAC，
設(shè)∠ACB=α，∠BAC=β，
則∠DCP=β，
在△PBC中，由正弦定理，可得
$\frac{PB}{sinα}=\frac{PC}{sin∠PBC}$
在△PCD中，由正弦定理，可得
$\frac{PD}{sinβ}=\frac{PC}{sin∠PDC}$
∵∠PBC=∠PDC，
∴sin∠PBC=sin∠PDC，
∴$\frac{PC}{sin∠PBC}=\frac{PC}{sin∠PDC}$，
∴$\frac{PB}{sinα}=\frac{PD}{sinβ}$，
∴$\frac{PB}{PD}$=$\frac{sinα}{sinβ}$，
∵AB=kBC，
∴$\frac{AB}{BC}=k$，
在△ABC中，由正弦定理，可得
$\frac{AB}{sinα}=\frac{BC}{sinβ}$
∴$\frac{AB}{BC}=\frac{sinα}{sinβ}$=k，
∴$\frac{PB}{PD}=\frac{AB}{BC}=k$，
∴PD=$\frac{PB}{k}$．

點評 （1）此題主要考查了相似形綜合題，考查了分析推理能力，考查了數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，要熟練掌握．
（2）此題還考查了全等三角形的判定和性質(zhì)的應(yīng)用，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：①判定定理1：SSS--三條邊分別對應(yīng)相等的兩個三角形全等．②判定定理2：SAS--兩邊及其夾角分別對應(yīng)相等的兩個三角形全等．③判定定理3：ASA--兩角及其夾邊分別對應(yīng)相等的兩個三角形全等．④判定定理4：AAS--兩角及其中一個角的對邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等．⑤判定定理5：HL--斜邊與直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等．
（3）此題還考查了正弦定理的性質(zhì)和應(yīng)用，以及直角三角形的性質(zhì)和應(yīng)用，要熟練掌握．