Question

9．在四邊形ABCD中，AB∥CD，∠BCD=90°，AB=AD=10cm，BC=8cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿折線A-B-C-D方向以2cm/s的速度勻速運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)Q從點(diǎn)D出發(fā)，沿線段DC方向以1cm/s的速度勻速運(yùn)動(dòng)，已知兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）．
（1）求CD的長(zhǎng)；
（2）連接PQ，當(dāng)t為何值時(shí)，∠PQC=45°？
（3）在點(diǎn)P，Q的運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在某一時(shí)刻，使得△BPQ的面積為10cm²？若存在，請(qǐng)求出所有滿足條件的t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）過A點(diǎn)作AM⊥CD于M，根據(jù)勾股定理可求得DM=6，進(jìn)而求得DC=16；
（2）當(dāng)∠PQC=45°時(shí)，需要分類討論：①當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上，②當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上，通過作輔助線構(gòu)建等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性質(zhì)列出方程，由方程的解即可得到答案；
（3）分三種情況討論：①當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上，②當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上，③當(dāng)點(diǎn)P在線段CD上，根據(jù)三種情況點(diǎn)的位置，即可求得t的值．

解答 解：（1）如圖1，過A點(diǎn)作AM⊥CD于M，則四邊形AMCB是矩形，
∴AM=BC=8，MC=AB=10，
∵AD=10，
∴DM=$\sqrt{A{D}^{2}-A{M}^{2}}$=$\sqrt{1{0}^{2}-{8}^{2}}$=6，
∴CD=DM+CM=6+10=16；

（2）①當(dāng)∠PQC=45°時(shí)，點(diǎn)P在AB上，點(diǎn)Q在DC上，如圖2，
此時(shí)PT=QT．
過點(diǎn)P作PT⊥CD于點(diǎn)T，則QT=PT．
由題意得：BP=CT=10-2t，
則QT=16-t-（10-2t）=6+t，PT=8，
∴6+t=8，
∴t=2；
②當(dāng)∠PQC=45°時(shí)，點(diǎn)P在AB上，點(diǎn)Q在DC上，如圖3，
此時(shí)PC=18-2t，QC=16-t．
由PC=QC得到：18-2t=16-t，
解得t=2（不合題意，舍去）
綜上所述，當(dāng)t=2時(shí)，∠PQC=45°；

（3）①當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上時(shí)，即0≤t≤5時(shí)，如圖4，
S_△BPQ=$\frac{1}{2}$BP•BC=$\frac{1}{2}$（10-2t）×8=10，
解得t=3.25；
②當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上時(shí)，即5＜t≤9時(shí)，如圖3，
BP=2t-10，CQ=16-t，
∴S_△BPQ=$\frac{1}{2}$BP•CQ=$\frac{1}{2}$（2t-10）×（16-t）=10，
化簡(jiǎn)得：t²-21t+90=0，
解得 t₁=15（舍去），t₂=6；
③當(dāng)點(diǎn)P在線段CD上時(shí)，
若點(diǎn)P在Q的右側(cè)，即9≤t≤$\frac{34}{3}$時(shí)，則有PQ=34-3t，
S_△BPQ=$\frac{1}{2}$（34-3t）×8=10，
解得t=$\frac{63}{6}$，
若點(diǎn)P在Q的左側(cè)，即$\frac{34}{3}$＜t≤16時(shí)，則有PQ=3t-34，
S_△BPQ=$\frac{1}{2}$（3t-34）×8=10，
解得t=$\frac{73}{6}$；
綜上，滿足條件的t的值存在，分別為3.25或6或$\frac{63}{6}$或$\frac{73}{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是四邊形的綜合題，考查了矩形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用以及三角形的面積等，分類討論的思想是本題的關(guān)鍵．