Question

如圖1，四邊形OABC中，OA=a，OC=3，BC=2，∠AOC=∠BCO=90°，經(jīng)過點(diǎn)O的直線l將四邊形分成兩部分，直線l與
OC所成的角設(shè)為θ，將四邊形OABC的直角∠OCB沿直線l折疊，點(diǎn)C落在點(diǎn)D處（如圖1）．
（1）若折疊后點(diǎn)D恰為AB的中點(diǎn)（如圖2），則θ=

 

；
（2）若θ=45°，四邊形OABC的直角∠OCB沿直線l折疊后，點(diǎn)B落在點(diǎn)四邊形OABC的邊AB上的E處（如圖3），求a的值．

Answer 1

考點(diǎn)：翻折變換（折疊問題）

專題：計(jì)算題

分析：（1）延長ND交OA的延長線于M，根據(jù)折疊性質(zhì)得∠CON=∠DON=θ，∠ODN=∠C=90°，由點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)得到D點(diǎn)為MN的中點(diǎn)，所以O(shè)D垂直平分MN，則OM=ON，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得∠MOD=∠NOD=θ，則∠θ+∠θ+∠θ=90°，計(jì)算得到∠θ=30°；
（2）作ED⊥OA于D，根據(jù)折疊性質(zhì)得AB⊥直線l，OD=OC=3，DE=BC=2，由于θ=45°，AB⊥直線l，即直線l平分∠AOC，則∠A=45°，所以△ADE為等腰直角三角形，則AD=DE=2，所以O(shè)A=OD+AD=3+2=5，即a=5．

解答：解：（1）如圖2，延長ND交OA的延長線于M，
∵四邊形OABC的直角∠OCB沿直線l折疊，點(diǎn)C落在點(diǎn)D處，
∴∠CON=∠DON=θ，∠ODN=∠C=90°，
∵點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，
∴D點(diǎn)為MN的中點(diǎn)，
∴OD垂直平分MN，
∴OM=ON，
∴∠MOD=∠NOD=θ，
∴∠θ+∠θ+∠θ=90°，
∴∠θ=30°；
故答案為30°；
（2）如圖3，作ED⊥OA于D，
∵四邊形OABC的直角∠OCB沿直線l折疊后，點(diǎn)B落在點(diǎn)四邊形OABC的邊AB上的E處，
∴AB⊥直線l，OD=OC=3，DE=BC=2，
∵θ=45°，AB⊥直線l，
即直線l平分∠AOC，
∴∠A=45°，
∴△ADE為等腰直角三角形，
∴AD=DE=2，
∴OA=OD+AD=3+2=5，
∴a=5．

點(diǎn)評：本題考查了折疊的性質(zhì)：折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等．也考查了線段垂直平分線的性質(zhì)．