Question

20．如圖，D為等邊三角形ABC內(nèi)的一點(diǎn)，DA=5，DB=4，DC=3，將線段AD以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到線段AD′，連接DD′，則tan∠DD′C=（　�。�

• A． $\frac{4}{3}$
• B． $\frac{3}{4}$
• C． $\frac{5}{4}$
• D． $\frac{4}{5}$

Answer 1

分析 首先證明把△ABD逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°后，AB與AC重合，AD與AD′重合，再根據(jù)勾股定理的逆定理得到△DD′C為直角三角形，進(jìn)而利用正切的定義即可求出tan∠DD′C的值．

解答 解：∵線段AD以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段AD′，
∴AD=AD′，∠DAD′=60°，
∴△ADD′為等邊三角形，
∴DD′=5，
∵△ABC為等邊三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60°，
∴把△ABD逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°后，AB與AC重合，AD與AD′重合，
∴D′C=DB=4，
∵DC=3，
在△DD′C中，
∵3²+4²=5²，
∴DC²+D′C²=DD′²，
∴△DD′C為直角三角形，
∴∠DCD′=90°，
∴tan∠DD′C=$\frac{DC}{D′C}=\frac{3}{4}$，
故選B．

點(diǎn)評 本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后兩圖形全等；對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角．也考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理的逆定理，證明△DD′C為直角三角形是解題關(guān)鍵．