Question

如圖，已知圓錐底面直徑AB=20，母線SA=30．C為母線SB的中點(diǎn)．今有一小蟲沿圓錐側(cè)面從A點(diǎn)爬到C點(diǎn)覓食．問(wèn)它爬過(guò)的最短距離應(yīng)是多少？

Answer 1

考點(diǎn)：平面展開-最短路徑問(wèn)題,圓錐的計(jì)算

專題：

分析：最短距離的問(wèn)題首先應(yīng)轉(zhuǎn)化為圓錐的側(cè)面展開圖的問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為平面上兩點(diǎn)間的距離的問(wèn)題．需先算出圓錐側(cè)面展開圖的扇形半徑．看如何構(gòu)成一個(gè)直角三角形，然后根據(jù)勾股定理進(jìn)行計(jì)算．

解答：解：圓錐的底面周長(zhǎng)是20π，則20π=

nπ×30

180

，
∴n=120°，
即圓錐側(cè)面展開圖的圓心角是120°，
∴∠APB=60°，
∵PA=PB，
∴△PAB是等邊三角形，
∵C是PB中點(diǎn)，
∴AC⊥PB，
∴∠ACP=90°，
∵在圓錐側(cè)面展開圖中AP=30，PC=15，
∴在圓錐側(cè)面展開圖中AC=

AP2-PC2

=

302-152

=15

3

cm．
答：它爬過(guò)的最短距離是15

3

cm．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是平面展開-最短路徑問(wèn)題，解答此類問(wèn)題應(yīng)先根據(jù)題意把立體圖形展開成平面圖形后，再確定兩點(diǎn)之間的最短路徑．一般情況是兩點(diǎn)之間，線段最短．在平面圖形上構(gòu)造直角三角形解決問(wèn)題．