Question

13．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，四邊形OABC是矩形，點(diǎn)A、C分別在y軸、x軸上，點(diǎn)B在第一象限，拋物線y=-$\frac{1}{2}{x}^{2}$+4x+6經(jīng)過A、B兩點(diǎn)．
（1）直接寫出點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)；
（2）將線段CB沿著過點(diǎn)C的直線l對折，點(diǎn)B恰好落在矩形的對角線AC上，求直線l的解析式．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)拋物線解析式求得點(diǎn)A的坐標(biāo)，然后結(jié)合矩形的性質(zhì)和拋物線的性質(zhì)可以求得點(diǎn)B、C的坐標(biāo)；
（2）根據(jù)對稱性和勾股定理可以求得點(diǎn)E的坐標(biāo)，從而可以求得直線l的解析式．

解答 解：（1）∵y=-$\frac{1}{2}{x}^{2}$+4x+6，
∴當(dāng)x=0時，y=6，
∴A（0，6）．
又y=-$\frac{1}{2}{x}^{2}$+4x+6=-$\frac{1}{2}$（x-4）²+14，
∴該拋物線的對稱軸是x=4，
∴點(diǎn)A、B關(guān)于直線x=4對稱，
∴B（8，6），
∴C（8，0）．
（2）如右圖所示，
由已知可得，DE=BE，CD=CB，
∵A（0，6），B（8，6），點(diǎn)C（8，0），
∴BC=6，OC=8，
∴AC=10，CD=6，
∴AD=4，
設(shè)AE=a，
∴EB=8-a，
∴DE=8-a，
∴4²+（8-a）²=a²，
解得，a=5，
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（5，6）
設(shè)過點(diǎn)C（8，0），點(diǎn)E（5，6）的直線l的解析式為y=kx+b，
則$\left\{\begin{array}{l}{5k+b=6}\\{8k+b=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=16}\end{array}\right.$，
即直線l的解析式為：y=-2x+16．

點(diǎn)評 本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問需要的條件．