Question

9．已知⊙O中弦AB⊥弦CD，垂足為H．
（1）如圖1，當(dāng)AB為直徑時，求證：BC=BD；
（2）如圖2，當(dāng)tan∠ACD=$\frac{1}{2}$，且BO=$\frac{5}{2}$$\sqrt{5}$時，求BC的長；
（3）如圖3，在（2）的條件下，若AB=CB，過H作BD的垂線垂足為E，直線HE交AC于點(diǎn)F，交⊙O于點(diǎn)G，求△OFH的面積．

Answer 1

分析 （1）由AB為直徑，CD為弦，且直徑與弦垂直，利用垂徑定理得到B為$\widehat{CD}$中點(diǎn)，得到兩條弧相等，利用等弧對等弦即可得證；
（2）連接OC，過O作OR垂直于BC，設(shè)∠ACD=x，利用同弧所對的圓周角定理得到一對角相等，表示出∠ABD=x，進(jìn)而表示出∠BDC，進(jìn)而表示出∠BOC，由OB=OC，利用等邊對等角得到一對角相等，根據(jù)tan∠ACD與BO的值，求出BR的值，利用垂徑定理即可確定出BC的值；
（3）連接OF、OH，過O作OM⊥AB于點(diǎn)M，ON⊥AC于點(diǎn)N，設(shè)AH=x，則有CH=2x，表示出BH，利用勾股定理求出x的值，求出AM與OM長，得出OH的長，進(jìn)而利用勾股定理求出ON與FH的長，即可求出三角形OFH的面積．

解答 （1）證明：∵AB為直徑，且AB⊥弦CD，
∴$\widehat{BC}$=$\widehat{BD}$，
∴BC=BD；
（2）解：如圖2，連接OC，過O作OR⊥BC于點(diǎn)R，
設(shè)∠ACD=x，
∵$\widehat{AD}$=$\widehat{AD}$，
∴∠ACD=∠ABD=x，
∵AB⊥CD，
∴∠BDC=90°-x，
∵$\widehat{BC}$=$\widehat{BC}$，
∴∠BOC=2∠BDC=180°-2x，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB=x，
∴tan∠OBC=tan∠ACD=$\frac{1}{2}$，
∵BO=$\frac{5\sqrt{5}}{2}$，
∴BR=2OR=5，
∵OR⊥BC，
∴BC=2BR=10；
（3）解：如圖3，連接OF、OH，過O作OM⊥AB于點(diǎn)M，ON⊥EF于點(diǎn)N，
設(shè)AH=x，則CH=2x，
∵BA=BC=10，
∴BH=10-x，
在Rt△BCH中，由勾股定理解得：x=4，
∴AM=5，OM=2.5，
∴OH=$\frac{\sqrt{29}}{2}$，
∵OE⊥BD，
∴∠EHD=∠DBH=∠ACD=∠CHF，
∴HF為△ACH的斜邊中線，
∴HF=$\frac{1}{2}$AC，
∴AC=4$\sqrt{5}$，
∴CF=HF=2$\sqrt{5}$，
在Rt△COF中得OF=$\frac{3\sqrt{5}}{2}$，
令HN=a，則FN=2$\sqrt{5}$-a，
由勾股定理：ON²=OF²-FN²=OH²-NH²，
解得：a=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
∴ON=$\frac{9\sqrt{5}}{10}$，
∴△OFH的面積為$\frac{9\sqrt{5}}{10}$×2$\sqrt{5}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{9}{2}$．

點(diǎn)評 此題屬于圓的綜合題，涉及的知識有：圓周角定理，勾股定理，直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)，垂徑定理，以及銳角三角函數(shù)定義，熟練掌握定理及性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．