Question

（b-c）²+（c-a）²+（a-b）²=（b+c-2a）²+（c+a-2b）²+（a+b-2c）²，則

(bc+1)(ca+1)(ab+1)

(a2+1)(b2+1)(c2+1)

=

1

．

Answer 1

分析：設a-b=x，b-c=y，c-a=z，則b+c-2a=c-a-（a-b）=z-x，同理得c+a-2b=x-y，a+b-2c=y-z，于是有x²+y²+z²=（z-x）²+（x-y）²+（y-z）²，利用完全平方公式展開得到x²+y²+z²=z²-2xz+x²+x²-2xy+y²+y²-2yz+z²，整理得x²+y²+z²-2xy-2yz-2zx=0；由x+y+z=a-b+b-c+c-a=0，兩邊平方得（x+y+z）²=0，展開有x²+y²+z²+2xy+2yz+2zx=0，于是得到x²+y²+z²=0，則x=y=z=0，易得a=b=c，然后把a=b=c代入原式計算即可得到答案．

解答：解：設a-b=x，b-c=y，c-a=z，
∵（b-c）²+（c-a）²+（a-b）²=（b+c-2a）²+（c+a-2b）²+（a+b-2c）²，
∴x²+y²+z²=（z-x）²+（x-y）²+（y-z）²，
∴x²+y²+z²=z²-2xz+x²+x²-2xy+y²+y²-2yz+z²，
∴x²+y²+z²-2xy-2yz-2zx=0，
又∵x+y+z=a-b+b-c+c-a=0，
∴（x+y+z）²=0，
∴x²+y²+z²+2xy+2yz+2zx=0．
∴x²+y²+z²=0，
∴x=y=z=0，
∴a=b=c，
∴原式=

3(bc+1)

3(a2+1)

=

3(a2+1)

3(a2+1)

=1．
故答案為1．

點評：本題考查了完全平方公式：a²±2ab+b²=（a±b）²．也考查了完全平方公式的靈活運用和換元法以及幾個非負數(shù)的和的性質(zhì)．