Question

4．如上圖所示．已知：在正方形ABCD中，∠BAC的平分線交BC于E，作EF⊥AC于F，作FG⊥AB于G．則$\frac{{F{G^2}}}{{B{C^2}}}$=$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 正方形的特性∠CAB=45°，所以△AGF是等腰直角三角形，從而有AF²=2FG²，因而應(yīng)有AF=AB，進而證明△ABE≌△AFE，即可得AF=AB，根據(jù)AF²=AG²+FG²=2FG²即可解題．

解答 解：∵AE是∠FAB的平分線，EF⊥AF，又AE是△AFE與△ABE的公共邊，
∴Rt△AFE≌Rt△ABE（AAS），
∴AF=AB．①
在Rt△AGF中，∵∠FAG=45°，
∴AG=FG，
∴AF²=AG²+FG²=2FG²．②
由①，②得$\frac{{F{G^2}}}{{B{C^2}}}$=$\frac{1}{2}$，
故答案為：$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查了正方形各邊長相等、各內(nèi)角相等的性質(zhì)，考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對應(yīng)邊相等的性質(zhì)，本題中求證Rt△AFE≌Rt△ABE是解題的關(guān)鍵．