Question

11．在△ABC中，∠ACB=90°，BC=k•AC，CD⊥AB于D．點(diǎn)P為AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，PF⊥BC于F，
（1）如圖1，當(dāng)k=2時(shí)，
①過P作PE⊥AC于E，則$\frac{CE}{BF}$=$\frac{1}{2}$；
②如圖2，連CP、DF，求$\frac{PC}{DF}$的值；
（2）直接寫出當(dāng)k=$\sqrt{3}$時(shí)，$\frac{PC}{DF}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 （1）①由已知條件推出四邊形EPFC是矩形，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到CE=PF，由三角函數(shù)的定義得到tan∠B=$\frac{AC}{BC}=\frac{PF}{BF}$，于是得到$\frac{CE}{BF}$=$\frac{1}{2}$，②設(shè)AC=k，BC=2k，由勾股定理得到AB=$\sqrt{5}$k，根據(jù)三角形的面積公式得到CD=$\frac{AC•BC}{AB}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$k，推出C，D，P，F(xiàn)四點(diǎn)共圓，根據(jù)圓周角定理得到∠CFD=∠CPA，推出△ACP∽△CDF，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（2）設(shè)AC=x，BC=$\sqrt{3}$x，由勾股定理得到AB=2x，根據(jù)三角形的面積公式得到CD=$\frac{AC•BC}{AB}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）①∵∠ACB=90°，PF⊥BC于F，PE⊥AC于E，
∴四邊形EPFC是矩形，
∴CE=PF，
∵tan∠B=$\frac{AC}{BC}=\frac{PF}{BF}$，
∵BC=2AC，
∴$\frac{CE}{BF}$=$\frac{1}{2}$，
②∵BC=k•AC，k=2，
∴設(shè)AC=k，BC=2k，∴AB=$\sqrt{5}$k，
∴CD=$\frac{AC•BC}{AB}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$k，
∵CD⊥AB于D，PF⊥BC于F，
∴C，D，P，F(xiàn)四點(diǎn)共圓，
∴∠CFD=∠CPA，
∵∠A+∠ACD=∠ACD+∠BCD=90°，
∴∠A=∠DCF，
∴△ACP∽△CDF，
∴$\frac{PC}{DF}$=$\frac{AC}{CD}$=$\frac{k}{\frac{2\sqrt{5}}{5}k}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$；
故答案為：$\frac{1}{2}$；

（2）k=$\sqrt{3}$時(shí)，$\frac{PC}{DF}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
理由：∵k=$\sqrt{3}$，
∴BC=$\sqrt{3}$AC，
設(shè)AC=x，BC=$\sqrt{3}$x，
∴AB=2x，
∴CD=$\frac{AC•BC}{AB}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，
由（1）證得$\frac{PC}{DF}$=$\frac{AC}{CD}$，
∴$\frac{PC}{DF}$=$\frac{x}{\frac{\sqrt{3}}{2}x}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
故答案為：$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，四點(diǎn)共圓，圓周角定理，矩形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．