Question

14．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°．D為AB上一點，且AC=AD．連接CD，過點D作DE∥BC．DE與AC相交于E．F為CD的中點，連接AF，EF．
（1）求證：∠AFE=∠B：
（2）求證：AF•BD=BC•EF．

Answer 1

分析 （1）由題意可知：∠DEC=90°，F(xiàn)為DC的中點，所以EF=FC，從而可知∠FCE=∠FEC，又因為∠ADC=∠FCE，所以∠AEF+∠ADC=∠AEF+∠CEF=180°，從而可知A、D、F、E四點共圓，由圓周角定理可知：∠AFE=∠ADE，所以∠ADE=∠B，即∠AFE=∠B．
（2）由（1）可知：A、D、F、E四點共圓，所以∠CDE=∠FAE，從而可證明∠FAE=∠DCB，最后證明△AEF∽△BCD，從而可知：AF•BD=BC•EF．

解答 解：（1）∵DE∥BC，∠ACB=90°，
∴∠DEC=90°，
∵F為DC的中點，
∴EF=FC，
∴∠FCE=∠FEC，
∵AD=AC，
∴∠ADC=∠FCE，
∴∠ADC=∠FEC，
∴∠AEF+∠ADC=∠AEF+∠CEF=180°，
∴A、D、F、E四點共圓，
∴由圓周角定理可知：∠AFE=∠ADE，
∵DE∥BC，
∴∠ADE=∠B，
∴∠AFE=∠B，

（2）由（1）可知：A、D、F、E四點共圓，
∴∠CDE=∠FAE，
∵DE∥BC，
∴∠CDE=∠DCB，
∴∠FAE=∠DCB，
∵∠B=∠AFE，
∴△AEF∽△BCD，
∴$\frac{AF}{EF}=\frac{BC}{BD}$，
即：AF•BD=BC•EF

點評 本題考查三角形的綜合問題，涉及直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，圓周角定理，相似三角形的性質(zhì)等知識，綜合考查學生的解題能力，本題屬于難題．