Question

如圖，正方形ABCD的對角線相交于O，點F在AD上，AD=3AF，△AOF的外接圓交AB于E，則

AE

AF

的值為（　　）

• A、

  3

  2

• B、3
• C、

  5

  3

• D、2

Answer 1

考點：三角形的外接圓與外心,正方形的性質(zhì)

專題：計算題

分析：連結(jié)OE、OF，作OH⊥AD于H，OP⊥AB于E，如圖，設(shè)AF=x，則AD=3x，根據(jù)正方形的性質(zhì)得∠OAF=∠OAE=45°，切可判斷四邊形APOH為正方形，則OF=OE，AP=OP=OH=AH=

3

2

x，F(xiàn)H=AH-AF=

1

2

x，再根據(jù)“HL”可判斷Rt△OFH≌Rt△OEP，得到FH=PE=

1

2

x，所以AE=AP+PE=2x，然后計算

AE

AF

的值．

解答：解：連結(jié)OE、OF，作OH⊥AD于H，OP⊥AB于E，如圖，設(shè)AF=x，則AD=3x，
∵正方形ABCD的對角線相交于O，
∴∠OAF=∠OAE=45°，四邊形APOH為正方形，
∴OF=OE，AP=OP=OH=AH=

3

2

x，
∴FH=AH-AF=

3

2

x-x=

1

2

x，
在Rt△OFH和Rt△OEP中，

OH=OP OF=OE

，
∴Rt△OFH≌Rt△OEP（HL），
∴FH=PE=

1

2

x，
∴AE=AP+PE=

3

2

x+

1

2

x=2x，
∴

AE

AF

=

2x

x

=2．
故選D．

點評：本題考查了三角形的外接圓與外心：經(jīng)過三角形的三個頂點的圓，叫做三角形的外接圓．三角形外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點，叫做三角形的外心．也考查了直角三角形的全等的判定與性質(zhì)和正方形的性質(zhì)．