Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A為二次函數(shù)y=-x²+4x-1圖象的頂點(diǎn)，圖象與y軸交于點(diǎn)C，過點(diǎn)A并與AC垂直的直線記為BD，點(diǎn)B、D分別為直線與y軸和 x軸的交點(diǎn)，點(diǎn)E 是二次函數(shù)圖象上與點(diǎn)C關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)，將一塊三角板的直角頂點(diǎn)放在A點(diǎn)，繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，三角板的兩直角邊分別與線段OD和線段OB相交于點(diǎn)P、Q兩點(diǎn)．

（1）點(diǎn)A的坐標(biāo)為

 

，點(diǎn)C的坐標(biāo)為

 

．
（2）求直線BD的表達(dá)式．
（3）在三角板旋轉(zhuǎn)過程中，平面上是否存在點(diǎn)R，使得以D、E、P、R為頂點(diǎn)的四邊形為菱形？若存在，直接寫出P、Q、R的坐標(biāo)；若不存在請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)公式，可得A點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)自變量為0時(shí)，可得圖象與y軸的交點(diǎn)；
（2）根據(jù)A、C點(diǎn)的坐標(biāo)，可得AC的解析式，根據(jù)直線BD垂直AC與A點(diǎn)，可得BD的比例系數(shù)，根據(jù)待定系數(shù)法，可得答案；
（3）根據(jù)菱形DERP，可得P、R的坐標(biāo)，根據(jù)菱形DREP，可得P、R的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)A點(diǎn)P的坐標(biāo)，可得直線AP，根據(jù)AP⊥AQ，可得直線AQ，根據(jù)AQ的自變量為0，可得Q點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答：解：（1）y=-x²+4x-1圖象的頂點(diǎn)
x=-

b

2a

=-

4

2×(-1)

=2，y=

4ac-b2

4a

=

4×(-1)×(-1)-42

4×(-1)

=3，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，3），
當(dāng)x=0時(shí)，y=-1，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，-1）；
（2）直線AC的解析式是y=2x-1，
過點(diǎn)A并與AC垂直的直線記為BD，
k BD=-

1

2

，
∴直線BD的表達(dá)式為：y=-

1

2

x+4；
（3）存在．
菱形DERP時(shí)，P₁（8-

17

，0），Q₁（0，

-3+2 17

3

），R₁（4-

17

，-1）；
菱形DREP時(shí)，P₂（

47

8

，0），Q₂（0，

5

12

），R₂（，

49

8

，-1）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的綜合題，利用頂點(diǎn)的坐標(biāo)公式，待定系數(shù)法，菱形的判定，注意菱形時(shí)，要分類R在E的左邊，R在E的右邊．