Question

如圖，已知在△ABC中，AC=6，BC=8，AB=10，BE平分∠ABC交AC于點(diǎn)E，EF⊥AB，垂足為F．
（1）求EF的長(zhǎng)度；
（2）作CD⊥AB，垂足為D，CD與BE相交于G，試說(shuō)明：CE=CG．

Answer 1

考點(diǎn)：角平分線的性質(zhì)

專題：

分析：（1）先根據(jù)角平分線的性質(zhì)，得出EF=CE，然后在直角△AEF中，運(yùn)用勾股定理即可求出EF的長(zhǎng)度；
（2）在△CEG中證明∠CEG=∠CGE即可得出結(jié)論．

解答：解：（1）∵6²+8²=10²，
∴AC²+BC²=AB²，
∴∠C=90°，
∵BE平分∠ABC交AC于點(diǎn)E，EF⊥AB，
∴CE=EF，
在Rt△BFE與Rt△BCE中，

BE=BE EC=EF

，
∴Rt△BFE≌Rt△BCE（HL），
∴BF=BC=8．
∵AB=10，
∴AF=AB-BF=2．
設(shè)EF=x，則CE=x，AE=6-x，
在直角△AEF中，由勾股定理，得AE²=EF²+AF²，
∴（6-x）²=x²+2²，
解得x=

8

3

；

（2）∵在△BCE中，∠CEB=90°-∠CBE，
∠CGE=∠DGB=90°-∠DBG，
∠CBE=∠DBG，
∴∠CEB=∠CGE，
∴CE=CG．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了角平分線的性質(zhì)定理，勾股定理以及等腰三角形的判定，關(guān)鍵是掌握角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等．