Question

已知，如圖，BD是正方形ABCD的對角線，BE平分∠DBC，交DC于點E，延長BC到點F，使CF=CE，連接DF，交BE的延長線于點G，求證：
（1）△BCE≌△DCF；
（2）DG²=GE•GB；
（3）若CF=2

2

-2，求正方形ABCD的面積．

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質,全等三角形的判定與性質,正方形的性質

專題：

分析：（1）根據(jù)正方形的性質得正方形，CB=CD，∠BCD=90°，利用“SAS”可判斷△BCE≌△DCF；
（2）由△BCE≌△DCF得∠CBE=∠CDF，再根據(jù)角平分線的定義得到∠CBE=∠DBE，則∠DDG=∠GBD，而∠DGE=∠BGD，根據(jù)三角形相似的判定得到△GDE∽△GBD，利用相似比即可得到DG²=GE•GB；
（3）先利用等角的余角相等得∠DGE=∠BCE=90°，即BG⊥DF，而BG平分∠DBF，根據(jù)等腰三角形的判定方法得到△BGF為等腰三角形，則BD=BF=BC+CF，由于BD=

2

BC，CF=2

2

-2，所以

2

BC=BC+2

2

-2，可計算出BC=2，然后計算正方形ABCD的面積．

解答：證明：（1）∵四邊形ABCD為正方形，
∴CB=CD，∠BCD=90°，
在△BCE和△DCF中

BC=DC ∠BCE=∠DCF CE=CF

，
∴△BCE≌△DCF（SAS）；
（2）∵△BCE≌△DCF，
∴∠CBE=∠CDF，
∵BE平分∠DBC，
∴∠CBE=∠DBE，
∴∠DDG=∠GBD，
而∠DGE=∠BGD，
∴△GDE∽△GBD，
∴DG：GE=GB：DG，
∴DG²=GE•GB；
（3）∵∠CBE=∠CDF，
而∠CEB=∠GED，
∴∠DGE=∠BCE=90°，
∴BG⊥DF，
而BG平分∠DBF，
∴△BGF為等腰三角形，
∴BD=BF=BC+CF，
∵BD=

2

BC，CF=2

2

-2，
∴

2

BC=BC+2

2

-2，
∴BC=2，
∴正方形ABCD的面積為4．

點評：本題考查了相似三角形的判定與性質：有兩組角對應相等的兩個三角形相似；相似三角形的對應角相等，對應邊的比相等．也考查了三角形全等的判定與性質、正方形的性質．