Question

4．如圖，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=8cm．點E、F、G分別從點A、B、C同時出發(fā)，沿矩形的邊按逆時針方向移動，點E、G的速度均為2cm/s，點F的速度為4cm/s，當點F追上點G（即點F與點G重合）時，三個點隨之停止移動．設移動開始后第ts時，△EFG的面積為Scm²．
（1）當t=1s時，S的值是多少？
（2）當0≤t≤2時，點E、F、G分別在邊AB、BC、CD上移動，用含t的代數(shù)式表示S；當2＜t≤4時，點E在邊AB上移動，點F、G都在邊CD上移動，用含t的代數(shù)式表示S．
（3）若點F在矩形的邊BC上移動，當t為何值時，以點B、E、F為頂點的三角形與以C、F、G為頂點的三角形相似？請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由S=S_梯形EBCG-S_△EBF-S_△FCG，結(jié)合三角形和梯形的面積公式進行計算即可；
（2）如圖1，當0≤t≤2時，由S=S_梯形GCBE-S_△EBF-S_△FCG即可求得S與t的函數(shù)關(guān)系式；如圖2所示S=$\frac{1}{2}FG•BG$從而可求得S與t的關(guān)系式；
（3）當$\frac{EB}{FC}=\frac{BF}{CG}$或$\frac{EB}{CG}=\frac{BF}{CF}$時△EBF∽△GCF，從而可求得t的值．

解答 解：（1）如圖1，

當t=1秒時，AE=2，EB=10，BF=4，F(xiàn)C=4，CG=2
由S=S_梯形EBCG-S_△EBF-S_△FCG=$\frac{1}{2}$（EB+CG）•BC-$\frac{1}{2}EB•BF-\frac{1}{2}FC•CG$
=$\frac{1}{2}$（10+2）×8-$\frac{1}{2}×10×4$-$\frac{1}{2}×4×2$=24（cm²）
（2）①如圖1，當0≤t≤2時，點E、F、G分別在邊AB、BC、CD上移動，此時AE=2t，BE=12-2t，BF=4t，F(xiàn)C=8-4t，CG=2t．
S=S_梯形GCBE-S_△EBF-S_△FCG=$\frac{1}{2}×8×（12-2t+2t）$-$\frac{1}{2}×4t（12-2t）$-$\frac{1}{2}×2t（8-4t）$=8t²-32t+48，
∴S=8t²-32t+48（0≤t≤2）．
②如圖2所示：

當點F追上點G時，4t=2t+8，解得：t=4．
當2＜t≤4時，點E在邊AB上移動，點F、G都在邊CD上移動，
此時CF=4t-8．CG=2t，F(xiàn)G=CG-CF=2t-（4t-8）=8-2t．
$S=\frac{1}{2}FG•BC$=$\frac{1}{2}×8×（8-2t）$=-8t+32
即S=-8t+32  （2＜t≤4）
（3）如圖1，當點F在矩形的邊BC上移動時，0≤t≤2．
在△EBF和△FCG中，∠B=∠C=90°．
①若$\frac{EB}{FC}=\frac{BF}{CG}$．即$\frac{12-2t}{8-4t}=\frac{4t}{2t}$，解得t=$\frac{2}{3}$．
所以當t=$\frac{2}{3}$時，△EBF∽△FCG．
②若$\frac{EB}{CG}=\frac{BF}{CF}$．即$\frac{12-2t}{2t}=\frac{4t}{8-4t}$，解得t=$\frac{3}{2}$．
所以當t=$\frac{3}{2}$時，△EBF∽△GCF．
綜上所述，當t=$\frac{2}{3}$或t=$\frac{3}{2}$時，以點E、B、F為頂點的三角形與以F、C、G為頂點的三角形相似．

點評 本題主要考查的是相似三角形的性質(zhì)和判定、三角形的面積公式、梯形的面積公式的應用，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式是解題的關(guān)鍵．