Question

17．如圖，直線l₁的解析表達(dá)式為y=3x-3，且l₁與x軸交于點(diǎn)D，直線l₂經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，B，直線l₁，l₂交于點(diǎn)C．
（1）求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）求△ADC的面積；
（3）在直線l₂上存在異于點(diǎn)C的另一點(diǎn)P，使得△ADP與△ADC的面積相等，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（4）在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在這樣的點(diǎn)H，使以A，D，C，H為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫出滿足條件的點(diǎn)H的個(gè)數(shù)．

Answer 1

分析 （1）令y=0，求出x的值即可得出D點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）先利用待定系數(shù)法求出直線l₂的解析式，故可得出C點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)三角形的面積公式即可得出結(jié)論；
（3）根據(jù)△ADP與△ADC的高相等即可得出結(jié)論；
（4）分AD是平行四邊形的邊與對(duì)角線兩種情況進(jìn)行討論．

解答 解：（1）∵令y=0，則x=1，
∴D（1，0）；

（2）設(shè)直線l₂的解析式為y=kx+b（k≠0），
∵A（4，0），B（3，$\frac{3}{2}$），
∴$\left\{\begin{array}{l}0=4k+b\\ \frac{3}{2}=3k+b\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}k=-\frac{3}{2}\\ b=6\end{array}\right.$，
∴直線l₂的解析式為y=-$\frac{3}{2}$x+6，
∴$\left\{\begin{array}{l}y=3x-3\\ y=-\frac{3}{2}x+6\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}x=2\\ y=3\end{array}\right.$，
∴C（2，3）．
∵AD=4-1=3，
∴S_△ADC=$\frac{1}{2}$×3×3=$\frac{9}{2}$；

（3）∵△ADP與△ADC的底相同，
∴其高相等，
∴當(dāng)y=-3即-$\frac{3}{2}$x+6=-3時(shí)，x=6，
∴P（6，-3）；

（4）存在．
設(shè)H（a，b），
當(dāng)AD為平行四邊形的邊時(shí)，
∵AD∥CH，AD=CH=3，A（4，0），D（1，0），C（2，3），
∴H₁（5，3），H₂（-1，3）；
當(dāng)AD為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，
$\frac{1+4}{2}$=$\frac{2+a}{2}$，$\frac{3+b}{2}$=0，解得a=3，b=-3，
∴H₃（3，-3）．
∴滿足條件的點(diǎn)H的個(gè)數(shù)是3個(gè)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是一次函數(shù)綜合題，涉及到一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)、平行四邊形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，在解答（3）時(shí)要注意進(jìn)行分類討論．