Question

2．如圖1，已知線段AB兩個端點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（a，1），B（-2，b），且a、b滿足：$\sqrt{a+5}$+$\sqrt{b-3}$=0
（1）則a=-5，b=3；
（2）在y軸上是否存在點(diǎn)C，使S_△ABC=8？若存在，請求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；
（3）如圖2，將線段BA平移得到線段OD，其中B點(diǎn)對應(yīng)O點(diǎn)，A點(diǎn)對應(yīng)D點(diǎn)，點(diǎn)P（m，n）是線段OD上任意一點(diǎn)，求證：3n-2m=0．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意可得a=-5，b=3；
（2）過點(diǎn)A作AN⊥y軸于N，過點(diǎn)B作BM⊥y軸于M，根據(jù)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)得出BM=2，OM=3，MN=2，AN=5，然后分兩種情況①當(dāng)C在P點(diǎn)的上方時；②當(dāng)C在P點(diǎn)的下方時，使S_△ABC=8，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（3）過D點(diǎn)作DH⊥y軸于H，過點(diǎn)P作PG⊥y軸于G，可得線段OD是由線段BA向右平移2個單位，向下平移3個單位得到的，根據(jù)點(diǎn)P（m，n），可得PG=-m，OG=-n，DH=3，OH=2，根據(jù)S_△ODH=S_△OPG+S_梯形PGHD，代入即可證明．

解答 解：（1）∵a、b滿足：$\sqrt{a+5}$+$\sqrt{b-3}$=0，
∴a+5=0，b-3=0，
∴a=-5，b=3；

（2）過點(diǎn)A作AN⊥y軸于N，過點(diǎn)B作BM⊥y軸于M，如圖1所示，
∵B（-2，3），A（-5，1），
∴BM=2，OM=3，MN=2，AN=5，
設(shè)直線AB交y軸于P，
①當(dāng)C在P點(diǎn)的上方時，
設(shè)C₁M=a，
∴S_△ABC=S_△ANC-S_梯形ABMN-S_△MBC，
∴$\frac{1}{2}$×（2+a）×5-$\frac{1}{2}$×（2+5）×2-$\frac{1}{2}$×2 a=8，
∴a=$\frac{20}{3}$，
∴C₁O=a+3=$\frac{29}{3}$，
∴C₁：（0，$\frac{29}{3}$），
設(shè)PM=m，
∵S_△APN=S_△BPM+S_梯形ABMN，
∴$\frac{1}{2}$×（2+m）×5=$\frac{1}{2}$×m×2+$\frac{1}{2}$×（2+5）×2，
解得：m=$\frac{4}{3}$，
∴OP=OM+PM=$\frac{13}{3}$，
∴P（0，$\frac{13}{3}$）；
②當(dāng)C在P點(diǎn)的下方時，作點(diǎn)C₂使PC₁=PC₂，
∵S_△APC1=S_△APC2，
S_△BPC1=S_△BPC2，
∴S_△ABC1=S_△ABC2，
∵P：（0，$\frac{13}{3}$），C₁：（0，$\frac{29}{3}$），
∴PC₁=PC₂=$\frac{16}{3}$，
∴OC₂=1，
∴C₂（0，-1），
∴在y軸上存在點(diǎn)C，使S_△ABC=8，點(diǎn)C的坐標(biāo)分別是：C₁（0，$\frac{29}{3}$），C₂（0，-1）；

（3）過D點(diǎn)作DH⊥y軸于H，過點(diǎn)P作PG⊥y軸于G，如圖2所示，
∵點(diǎn)B及其對應(yīng)點(diǎn)O的坐標(biāo)分別是B（-2，3），O（0，0），
∴線段OD是由線段BA向右平移2個單位，向下平移3個單位得到的，
∴點(diǎn)A（-5，1）的對應(yīng)點(diǎn)D的坐標(biāo)是（-3，-2），
∵點(diǎn)P（m，n），
∴PG=-m，OG=-n，DH=3，OH=2，
∴S_△ODH=S_△OPG+S_梯形PGHD，
∴$\frac{1}{2}$×3×2=$\frac{1}{2}$×（-m+3）×（n+2）+$\frac{1}{2}$×mn，
∴6=mn-mn-2m+3n+6，
∴3n-2m=0．
故答案為：-5，3．

點(diǎn)評 本題考查了幾何變換綜合題，涉及了非負(fù)數(shù)的有意義的條件，三角形和梯形的面積公式，平移的性質(zhì)等知識點(diǎn)，解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)題意作出合適的輔助線，注意分情況討論求出點(diǎn)的坐標(biāo)，本題綜合性較強(qiáng)，難度適中．