Question

3．如圖，反比例函數(shù)y=$\frac{6}{x}$（x＞0）的圖象經(jīng)過(guò)矩形OABC對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)M，分別與AB、BC相交于點(diǎn)D、E，則下列結(jié)論正確的是（1）、（2）、（4）（將正確的結(jié)論填在橫線(xiàn)上）．
①S_△OAD=S_△OCE；②$\frac{CE}{OA}$=$\frac{1}{4}$；③S_△OBE=6；④連接ED，則△BED∽△BCA．

Answer 1

分析 （1）利用反比例函數(shù)上的任意一點(diǎn)P到x軸，y軸的垂足分別為A、B，則S_△POA=S_△POB都是反比例函數(shù)的比例系數(shù)的一半．
（2）利用矩形的對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)是線(xiàn)段的中點(diǎn)，以及已知兩端點(diǎn)的坐標(biāo)確定出中點(diǎn)坐標(biāo)，最后利用平行于x、y軸的直線(xiàn)上兩點(diǎn)的距離公式計(jì)算方法．
（3）利用平行于x、y軸的直線(xiàn)上兩點(diǎn)的距離公式表示出BE和OC即可．
（4）利用平行于x、y軸的直線(xiàn)上兩點(diǎn)的距離公式表示出BE、BC、BD、AB，從而判斷出這四條線(xiàn)段成比例即可．

解答 解：（1）反比例函數(shù)y=$\frac{6}{x}$的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)D、E，則可設(shè)點(diǎn)D（a，$\frac{6}{a}$）、點(diǎn)E（b，$\frac{6}$）（a＞0，b＞0）；
∴點(diǎn)A（a，0），點(diǎn)B（a，$\frac{6}$），點(diǎn)C（0，$\frac{6}$），
∵四邊形OABC是矩形，
∴OA=a，AD=$\frac{6}{a}$，OC=$\frac{6}$，CE=b，
∴S_△OAD=$\frac{1}{2}$OA×AD=$\frac{1}{2}$a×$\frac{6}{a}$=3，
  S_△OCE=$\frac{1}{2}$OC×CE=$\frac{1}{2}$×$\frac{6}$×b=3
∴S_△OAD=S_△OCE，
故（1）正確．
（2）∵點(diǎn)M是矩形對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)，且在反比例函數(shù)y=$\frac{6}{x}$圖象上，
∴點(diǎn)M是線(xiàn)段AC的中點(diǎn)，
∴M（$\frac{a}{2}$，$\frac{3}$）
∵點(diǎn)M在反比例函數(shù)y=$\frac{6}{x}$的圖象上，
∴$\frac{a}{2}×\frac{3}=6$，
∴$\frac{a}=4$，
∴$\frac{CE}{OA}=\frac{a}=\frac{1}{4}$，
故（2）正確．
（3）由（1）有點(diǎn)B（a，$\frac{6}$），點(diǎn)E（b，$\frac{6}$），OC=$\frac{6}$，
∴BE=a-b
∴S_△OBE=$\frac{1}{2}$BE×OC=$\frac{1}{2}$（a-b）×$\frac{6}$=3×$\frac{a}$-3=9，
故（3）錯(cuò)誤．
（4）由（1）有點(diǎn)A（a，0），點(diǎn)B（a，$\frac{6}$），點(diǎn)D（a，$\frac{6}{a}$），點(diǎn)C（0，$\frac{6}$），點(diǎn)E（b，$\frac{6}$），
∴AB=$\frac{6}$，BD=$\frac{6}-\frac{6}{a}$，BC=a，BE=a-b，
∴BD：AB=（$\frac{6}-\frac{6}{a}$）：$\frac{6}$=（a-b）：a，
BE：BC=（a-b）：a，
∴BD：AB=BE：BC，
∵∠ABC=∠DBE（公共角）
∴△BED∽△BCA（兩邊答應(yīng)成比例，夾角相等，兩三角形相似），
故（4）正確．
故答案為（1），（2），（4）．

點(diǎn)評(píng) 本題是反比例函數(shù)綜合題，主要考查了平面坐標(biāo)系中平行于x（或y）軸的直線(xiàn)上兩點(diǎn)的距離是橫（或縱）坐標(biāo)的差的絕對(duì)值，得到AB=$\frac{6}$，BD=$\frac{6}-\frac{6}{a}$，BC=a，BE=a-b求出BD：AB，BE：BC從而得出BD：AB=BE：BC，線(xiàn)段的中點(diǎn)坐標(biāo)的確定．此題涉及到的知識(shí)點(diǎn)有：矩形的性質(zhì)，線(xiàn)段的中點(diǎn)坐標(biāo)的計(jì)算方法，兩點(diǎn)之間的距離的計(jì)算相似三角形的判斷，三角形面積的計(jì)算；解答本題的關(guān)鍵是利用同一個(gè)反比例函數(shù)的比例系數(shù)是定值，此題難點(diǎn)為三角形面積的計(jì)算方法．