Question

14．如圖所示，已知等腰三角形△ABC的底邊BC與X軸重合，BC=4，點(diǎn)B（3，0 ），AC交Y軸于點(diǎn)D（0，3），
（ 1 ）求直線(xiàn)AC的解析式；
（2）若點(diǎn)M為等腰三角形△ABC的對(duì)稱(chēng)軸上一點(diǎn)，是否存在這樣的點(diǎn)M，使線(xiàn)段DM+CM的值最小？若存在，直接寫(xiě)出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（3）連續(xù)BD，在線(xiàn)段AC上是否存在一點(diǎn)P，使S_△PBD=$\frac{1}{2}$S_△PBC？若存在，試求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）利用待定系數(shù)法求直線(xiàn)AC的解析式；
（2）作出等腰三角形的對(duì)稱(chēng)軸AF，因?yàn)镃和B是對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，所以BD與AF的交點(diǎn)就是所求的點(diǎn)M，利用線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)可知：直線(xiàn)AF：x=1，點(diǎn)M就是AF與BD的交點(diǎn)，利用方程組求解；
（3）存在，分兩種情況：①點(diǎn)P在CD的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)A重合，則這時(shí)P（1，6）；②點(diǎn)P在線(xiàn)段CD上時(shí)，利用平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理列比例式求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答 解：（1）由題意得：C（-1，0），
設(shè)直線(xiàn)AC的解析式為：y=kx+b，
把C（-1，0）、D（0，3）代入得：
$\left\{\begin{array}{l}{-k+b=0}\\{b=3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=3}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴直線(xiàn)AC的解析式為：y=3x+3；

（2）存在，如圖1，作對(duì)稱(chēng)軸交BD于M，交x軸于F，連接CM，
點(diǎn)C與點(diǎn)B關(guān)于直線(xiàn)AF對(duì)稱(chēng)，
這時(shí)CM+DM的值最小，
∵AF是BC的垂直平分線(xiàn)，
∴直線(xiàn)AF的解析式為：x=1，
設(shè)直線(xiàn)BD的解析式為：y=kx+b，
把B（3，0），D（0，3）代入得：
$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=0}\\{b=3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=3}\end{array}\right.$，
則直線(xiàn)BD的解析式為：y=-x+3，
當(dāng)x=1時(shí)，y=2，
∴M（1，2）；

（3）①點(diǎn)P在CD的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，如圖2，當(dāng)PD=CD時(shí)，S_△PBD=$\frac{1}{2}$S_△PBC，
∵C（-1，0），D（0，3）
∴P（1，6）
這時(shí)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合；
②點(diǎn)P在線(xiàn)段CD上時(shí)，如圖3，當(dāng)PD=$\frac{1}{2}$PC時(shí)，S_△PBD=$\frac{1}{2}$S_△PBC，
過(guò)P作PE⊥BC于E，則PE∥OD，
∴$\frac{PE}{OD}$=$\frac{CP}{CD}$=$\frac{CE}{CO}$，
∴$\frac{PE}{3}$=$\frac{2}{3}$=$\frac{CE}{1}$，
∴PE=2，CE=$\frac{2}{3}$，
∴P（-$\frac{1}{3}$，2），
綜上所述，存在這樣的P點(diǎn)，坐標(biāo)為（1，6）或（（-$\frac{1}{3}$，2）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查一次函數(shù)的性質(zhì)、軸對(duì)稱(chēng)最短問(wèn)題、平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理、三角形的面積等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用軸對(duì)稱(chēng)解決最短問(wèn)題，學(xué)會(huì)構(gòu)建一次函數(shù)，利用方程組確定交點(diǎn)坐標(biāo)，屬于中考?jí)狠S題．