Question

15．如圖，在邊長為2的等邊△ABC中，E為AB的中點，EF∥BC，交AC于點F，點D為CB延長線上一點，且DE=EC．
（1）求四邊形EFCB的周長；
（2）猜想線段AE與DB的大小關系，并說明你的理由．

Answer 1

分析 （1）首先根據E為AB的中點，EF∥BC，可得EF是△ABC的中位線，所以點F為AC的中點；然后求出EF的長度，再加上FC、CB、BE的長度，求出四邊形EFCB的周長是多少即可；
（2）猜想線段AE=DB，首先根據等邊三角形的性質以及中位線的性質，判斷出∠ECF=∠FEC，∠FEC=∠ECB，所以∠ECB=∠ECF=30°，再根據DE=EC，可得∠D=30°，然后判斷出∠DEB=30°，可得BE=DB，再根據AE=BE，判斷出AE=DB即可．

解答 （1）解：∵E為AB的中點，EF∥BC，
∴EF是△ABC的中位線，
∴EF=$\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×2=1$；
∴四邊形EFCB的周長是：
EF+FC+CB+BE=1+2÷2+2+2÷2=5．
答：四邊形EFCB的周長是5．

（2）猜想線段AE=DB，
證明：∵EF=CF，
∴∠ECF=∠FEC，∠FEC=∠ECB，
∴∠ECB=∠ECF=60÷2=30°；
∵DE=EC，
∴∠D=30°，
∴∠DEB=60-30=30°，∠D=30°，
∴∠DEB=∠D，
∴BE=DB，AE=BE，
∴AE=DB．

點評 （1）此題主要考查了等邊三角形的性質，以及中位線的判定和性質，要熟練掌握；
（2）此題還考查了圖形的周長的含義和求法，要熟練掌握．