Question

如圖，直線y=-x+4交坐標軸于A、B兩點，M為反比例函數y=

-3

x

（x＞0）上一點，N為直線y=-x+4上一點，當四邊形OMCN為正方形時，求M點和N點的坐標．

Answer 1

考點：反比例函數綜合題

專題：

分析：過點N作NE⊥y軸于點E，過點M作MF⊥y軸于點F，如圖，易證△NEO≌△OFM，由此可得EN=FO，OE=MF．設點N的坐標為（a，b），則EN=FO=a，OE=MF=b，從而得到點M的坐標為（b，-a），然后把兩個點的坐標代入對應的解析式，就可求出a、b的值，從而解決問題．

解答：解：過點N作NE⊥y軸于點E，過點M作MF⊥y軸于點F，如圖，
則有∠NEO=∠MFO=90°．
∵四邊形OMCN為正方形，
∴ON=OM，∠NOM=90°，
∴∠NOE=180°-90°-∠FOM=90°-∠FOM=∠FMO．
在△NEO和△OFM中，

∠NEO=∠OFM ∠NOE=∠FMO ON=OM

，
∴△NEO≌△OFM（AAS），
∴EN=FO，OE=MF．
設點N的坐標為（a，b），
則EN=FO=a，OE=MF=b，
∵點M在第四象限，
∴點M的坐標為（b，-a）．
∵M為反比例函數y=

-3

x

（x＞0）上一點，N為直線y=-x+4上一點，
∴

-ab=-3 b=-a+4

，即

ab=3 a+b=4

，
解得

a=1 b=3

或

a=3 b=1

．
當a=1，b=3時，M點的坐標為（3，-1），N點的坐標為（1，3）；
當a=3，b=1時，M點的坐標為（1，-3），N點的坐標為（3，1）．

點評：本題主要考查了正方形的性質、全等三角形的判定與性質、直線及反比例函數圖象上點的坐標特征、解方程組等知識，構造全等三角形是解決本題的關鍵．