Question

11．某鄉(xiāng)鎮(zhèn)準(zhǔn)備在相距3千米的A、B兩個工廠間修建一條筆直的公路，在工廠A北偏東60°方向，工廠北偏西45°方向有一點P，以P點為圓心，1.2千米為半徑的區(qū)域是一個村莊，問修筑公路時，這個村莊是否有居民需要搬遷？（參考數(shù)據(jù)：$\sqrt{2}$≈1.4，$\sqrt{3}$≈1.7）

Answer 1

分析 作垂線段PC，計算PC的長與1.2千米作比較，若PC＞1.2時，居民不需要搬遷；若PC＜1.2時，居民需要搬遷；先設(shè)BC=x，則AC=3-x，根據(jù)30度的余弦列式求出PC的長，則可以得出結(jié)論．

解答 解：過P作PC⊥AB于C，設(shè)BC=x，則AC=3-x，
∵PC∥BF，
∴∠CPB=∠PBF=45°，
∴△PCB是等腰直角三角形，
∴PC=BC=x，
∵∠EAB=90°，∠EAP=60°，
∴∠PAC=90°-60°=30°，
tan∠PAC=$\frac{PC}{AC}$，
∴tan30°=$\frac{x}{3-x}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴x=$\frac{3（\sqrt{3}-1）}{2}$≈$\frac{3×（1.7-1）}{2}$=1.05＜1.2，
答：修筑公路時，這個村莊有一些居民需要搬遷．

點評 本題是解直角三角形的應(yīng)用，主要考查了方向角問題，正確辨別方向角是本題的基礎(chǔ)，一般是以第一個方向為始邊向另一個方向旋轉(zhuǎn)相應(yīng)度數(shù)；其次是利用三角函數(shù)列式求邊的長或角的度數(shù)．