Question

在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，D₁是斜邊AB的中點，過點D₁作D₁E₁⊥AC于點E₁，連接BE₁，交CD₁于點D₂，過點D₂作D₂E₂⊥AC于點E₂，連接BE₂交CD₁于點D₃，過點D₃作D₃E₃⊥AC于點E₃，…如此繼續(xù)，可以依次得到D₄，D₅，…，D_n，已知△ABC面積為1，分別記△BD₁E₁，△BD₂E₂，△BD₃E₃，…，△BD_nE_n的面積為S₁，S₂，S₃，…，S_n，則S_n=

 

．

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：規(guī)律型

分析：根據(jù)直角三角形的性質(zhì)以及相似三角形的性質(zhì)解答即可．

解答：解：易知D₁E₁∥BC，∴△BD₁E₁與△CD₁E₁同底同高，面積相等，以此類推；
根據(jù)直角三角形的性質(zhì)以及相似三角形的性質(zhì)可知：D₁E₁=

1

2

BC，CE₁=

1

2

AC，S₁=

1

22

S_△ABC；
∴在△ACB中，D₂為其重心，
∴D₂E₁=

1

3

BE₁，
∴D₂E₂=

1

3

BC，CE₂=

1

3

AC，S₂=

1

32

S_△ABC，
∵D₂E₂：D₁E₁=2：3，D₁E₁：BC=1：2，
∴BC：D₂E₂=2D₁E₁：

2

3

D₁E₁=3，
∴CD₃：CD₂=D₃E₃：D₂E₂=CE₃：CE₂=3：4，
∴D₃E₃=

3

4

D₂E₂=

3

4

×

1

3

BC=

1

4

BC，CE₃=

3

4

CE₂=

3

4

×

1

3

AC=

1

4

AC，S₃=

1

42

S_△ABC…；
∴S_n=

1

(n+1)2

S_△ABC．
故答案為：

1

(n+1)2

S_△ABC．

點評：考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是據(jù)直角三角形的性質(zhì)以及相似三角形的性質(zhì)得到第一個三角形的面積與原三角形的面積的規(guī)律．也考查了重心的性質(zhì)即三角形三邊中線的交點到頂點的距離等于它到對邊中點距離的兩倍．