Question

如圖，將矩形ABCD沿直線EF折疊，使點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，折痕交AD于點(diǎn)E，BC于點(diǎn)F，連接AF、CE．
（1）求證：△AFE為等腰三角形．
（2）設(shè)AE=a，ED=b，DC=c．請(qǐng)寫出一個(gè)a，b，c三者之間的數(shù)量關(guān)系式．
（3）若AB=12cm，BC=18cm，求重疊部分△AFE的面積和EF的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：翻折變換（折疊問(wèn)題）

專題：

分析：（1）證明∠AFE=∠AEF，即可解決問(wèn)題．
（2）證明AE=CF，運(yùn)用勾股定理即可解決問(wèn)題．
（3）證明四邊形AFCE是菱形，求出AC、AE的長(zhǎng)度，即可解決問(wèn)題．

解答：解：（1）如圖，連接AC，交EF于點(diǎn)O；
由題意得：∠AFE=∠CFE；
∵四邊形ABCD為矩形，
∴AD∥BC，
∴∠AEF=∠CFE，
∴∠AFE=∠AEF，
∴AE=AF，
∴△AFE為等腰三角形．
（2）∵EF⊥AC，且平分AC，
∴AE=CE=a；在Rt△DCE中，
由勾股定理得：
CE²=CD²+DE²，而ED=b，DC=c，
∴a²=b²+c²．
（3）∵四邊形ABCD為矩形，
∴∠B=90°，
∴AC²=BC²+AB²=12²+18²，
∴AC=6

13

；
由矩形的中心對(duì)稱性知：AE=CF，而AE∥CF，
∴四邊形AFCE是平行四邊形，而AE=AF，
∴四邊形AFCE是菱形，AC⊥EF；
設(shè)AE=λ，則DE=18-λ；
由（2）知：λ²=（18-λ）²+12²，
解得：λ=13，
∴S菱形AECF=AE•CD=

1

2

AC•EF=13×12，
∴S_△AEF=

1

2

S菱形AECF=78，EF=

52 3

3

，
即重疊部分△AFE的面積和EF的長(zhǎng)分別為78cm²、

52 3

3

cm．

點(diǎn)評(píng)：該題以矩形為載體，以翻折變換為方法，以等腰三角形的判定、勾股定理、菱形的判定及其性質(zhì)等幾何知識(shí)點(diǎn)的考查為核心構(gòu)造而成；解題的關(guān)鍵是作輔助線；對(duì)綜合的分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力提出了較高的要求．