Question

15．如圖，△ABC，AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D，求證：$\frac{BD}{CD}$=$\frac{AB}{AC}$．

Answer 1

分析 過點(diǎn)C作CE∥AB與AD的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠BAD=∠E，然后求出△ABD和△ECD相似，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例可得$\frac{BD}{CD}=\frac{AB}{CE}$，根據(jù)角平分線的定義可得∠BAD=∠CAD，再求出∠CAD=∠E，根據(jù)等角對(duì)等邊可得AC=CE，從而得證．

解答 證明：如圖，過點(diǎn)C作CE∥AB與AD的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E，
所以，∠BAD=∠E，
∵∠ADB=∠EDC，
∴△ABD∽△ECD，
∴$\frac{BD}{CD}=\frac{AB}{CE}$，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∴∠CAD=∠E，
∴AC=CE，
∴$\frac{BD}{CD}$=$\frac{AB}{AC}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了角平分線，相似三角形的判定與性質(zhì)，難點(diǎn)在于作輔助線構(gòu)造出相似三角形和等腰三角形．