Question

3．如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)P是AB上一動(dòng)點(diǎn)（不與A，B重合），對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)P分別作AC、BD的垂線，分別交AC、BD于點(diǎn)E、F，交AD、BC于點(diǎn)M、N．下列結(jié)論：
①△APE≌△AME；②PM+PN=AC；③PE²+PF²=PO²；④△POF∽△BNF；⑤當(dāng)△PMN∽△AMP時(shí)，點(diǎn)P是AB的中點(diǎn)．
其中正確的結(jié)論有①②③⑤．

Answer 1

分析 ①根據(jù)正方形的每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角可得∠PAE=∠MAE=45°，然后利用“角邊角”證明△APE和△AME全等；
②根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得PE=EM=$\frac{1}{2}$PM，同理，F(xiàn)P=FN=$\frac{1}{2}$NP，證出四邊形PEOF是矩形，得出PF=OE，證得△APE為等腰直角三角形，得出AE=PE，PE+PF=OA，即可得到PM+PN=AC；
③根據(jù)矩形的性質(zhì)可得PF=OE，再利用勾股定理即可得到PE²+PF²=PO²；
④判斷出△POF不一定等腰直角三角形，△BNF是等腰直角三角形，從而確定出兩三角形不一定相似；
⑤證出△APM和△BPN以及△APE、△BPF都是等腰直角三角形，從而得出結(jié)論．

解答 解：①∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠BAC=∠DAC=45°，
∵PM⊥AC，
∴∠AEP=∠AEM=90°，
在△APE和△AME中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAC=∠DAC}\\{AE=AE}\\{∠AEP=∠AEM}\end{array}\right.$，
∴△APE≌△AME（ASA），
故①正確；
②∵△APE≌△AME，
∴PE=EM=$\frac{1}{2}$PM，
同理，F(xiàn)P=FN=$\frac{1}{2}$NP，
∵正方形ABCD中，AC⊥BD，
又∵PE⊥AC，PF⊥BD，
∴∠PEO=∠EOF=∠PFO=90°，且△APE中AE=PE
∴四邊形PEOF是矩形．
∴PF=OE，
∵在△APE中，∠AEP=90°，∠PAE=45°，
∴△APE為等腰直角三角形，
∴AE=PE，
∴PE+PF=OA，
又∵PE=EM=$\frac{1}{2}$PM，F(xiàn)P=FN=$\frac{1}{2}$NP，OA=$\frac{1}{2}$AC，
∴PM+PN=AC，
故②正確；
③∵四邊形PEOF是矩形，
∴PE=OF，
在直角△OPF中，OF²+PF²=PO²，
∴PE²+PF²=PO²，
故③正確；
④∵△APE≌△AME，
∴AP=AM
△BNF是等腰直角三角形，而△POF不一定是，
∴△POF與△BNF不一定相似，
故④錯(cuò)誤；
⑤∵△APE≌△AME，
∴AP=AM，
∴△AMP是等腰直角三角形，
同理，△BPN是等腰直角三角形，
當(dāng)△PMN∽△AMP時(shí)，△PMN是等腰直角三角形．
∴PM=PN，
又∵△AMP和△BPN都是等腰直角三角形，
∴AP=BP，即P是AB的中點(diǎn)，
故⑤正確；
故答案為：①②③⑤．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了正方形的性質(zhì)、矩形的判定、勾股定理的綜合應(yīng)用、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)；熟記各性質(zhì)并準(zhǔn)確識(shí)圖是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．