Question

10．如圖，矩形ABCD的邊AD是菱形AEDF的一條對角線，且點E在矩形ABCD的邊BC上．
（1）求證：△ABE≌△DCE；
（2）直接寫出當(dāng)矩形邊長AD與AB之間滿足什么關(guān)系時，菱形AEDF為正方形．

Answer 1

分析 （1）由矩形的性質(zhì)得出AB=DC，∠B=∠C=90°，由菱形的性質(zhì)得出AE=DE，由HL證明Rt△ABE≌Rt△DCE即可；
（2）由全等三角形的性質(zhì)得出BE=CE，∠AEB=∠DEC，由AD=2AB，證出△ABE是等腰直角三角形，得出∠AEB=45°，證出∠AED=90°，即可得出菱形AEDF為正方形．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB=DC，∠B=∠C=90°，AD=BC，
∵四邊形AEDF是菱形，
∴AE=DE，
在Rt△ABE和Rt△DCE中，$\left\{\begin{array}{l}{AE=DE}\\{AB=DC}\end{array}\right.$，
∴Rt△ABE≌Rt△DCE（HL）；
（2）解：當(dāng)AD=2AB時，菱形AEDF為正方形；理由如下：
∵Rt△ABE≌Rt△DCE，
∴BE=CE，∠AEB=∠DEC，
∵AD=2AB，AD=BC，
∴AB=BE，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴∠AEB=45°，
∴∠DEC=45°，
∴∠AED=180°-45°-45°=90°，
∴菱形AEDF為正方形．

點評 本題考查了矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、正方形的判定、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握矩形和菱形的性質(zhì)，證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．